Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenthaison]

như hình

Hình gửi kèm

• 

[kytrieu]

+) x=0 không là nghiệm của phương trình 

+) $x\neq 0$ chia cả 2 vế của P(x) cho $x^{2}$ ta được

$x^{2}+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t(\left | t \right |\geq 2)$

PT trở thành 

$t^{2}-2+at+b=0$

$\Leftrightarrow at+b=2-t^{2}\Rightarrow (at+b)^{2}=(t^{2}-2)^{2}\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(t^{2}+1)\geq (t^{2}-2)^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}$

ta cần cm $\frac{(t^{2}-2)^{2}}{t^{2}+1}\geq \frac{4}{5}$ biến đổi tương đương là ra

[TrucCumgarDaklak]

$P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$

$x_{0}=0$ không là nghiệm của $P(x)$, chia 2 vế cho $x_{0}^{2}$

$\Rightarrow \left ( x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}} \right )+a\left ( x_{0} +\frac{1}{x_{0}}\right )+b=0$ (*)

Đặt $x_{0}+\frac{1}{x_{0}}=t$ ($\left | t \right |\geq 2$) $\Rightarrow t^{2}-2=x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}}$

(*) $\Leftrightarrow t^{2}-2+at+b=0\Leftrightarrow at+b=2-t^{2}$

Ta có: $\left | at+b \right |\leq \left | at \right |+\left | b \right |\Rightarrow\left | 2-t^{2} \right | \leq \left | at \right |+\left | b \right |$

$\Rightarrow \frac{\left | 2-t^{2} \right |}{\left | t \right |}\leq \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{\left | t \right |}\leq \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{2}$

Ngoài ra: $\frac{\left | 2-t^{2} \right |}{\left | t \right |}=\frac{t^{2}-2}{\left | t \right |}=\left | t \right |-\frac{2}{\left | t \right |}\geq 1$ (vì $\left | t \right |\geq 2$)

$\Rightarrow \left | a \right |+\frac{\left | b \right |}{2}\geq 1\Leftrightarrow 2\left | a \right |+\left | b \right |\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có:

$\left ( 2^{2}+1 \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )\geq \left ( 2\left | a \right |+\left | b \right | \right )^{2}\geq 2^{2}=4\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{4}{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrucCumgarDaklak: 28-09-2017 - 20:50