192 replies to this topic

[Korkot]

Bài toán số 40: Giải pt: $2x^2+2x+1=(4x-1)\sqrt{x^2+1}$

 

p/s: Mọi người có bài nào post lên cùng giải, mình sắp hết tài liệu rồi!

 

Ta thấy VT >0 nên đặt Đkxđ ở VP

Một lần nữa mình xin bình phuong hai vế

Pt đã cho $\Rightarrow  4x^4+4x^2+1+8x^3+4x^2+4x= (16x^2-8x+1)(x^2+1)$

$\Leftrightarrow 4x^4+8x^3+8x^2+4x+1=16x^4-8x^3+x^2+16x^2-8x+1$

$\Leftrightarrow 12x^4-16x^3+9x^2-12x=0$

Nhận thấy hoặc x=0 hoặc $12x^3-16x^2+9x-12=0$

$\Leftrightarrow (3x-4)(4x^2+3)=0$

Từ đó ta thấy x=$\frac{4}{3}$

Thử lại nhận $\frac{4}{3}$ làm nghiệm

Edited by Korkot, 29-04-2018 - 11:11.

[Korkot]

Bài 45: Tìm các giá trị của m để pt sau có ít nhất 2 nghiệm 

(x-3)(x+1) + 4(x-3)$\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$=m

Edited by Korkot, 29-04-2018 - 20:18.

[Roro1230]

 

Bài toán số 39: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 \end{matrix}\right.$

 

pt 2 bình phương, ta có: $(x\sqrt{1-y^{2}})+y\sqrt{1-x^{2}})^{2}$ $\leq$ $(x^{2}+1-x^{2})(y^{2}+1-y^{2})$ = 1.(bdt bunhia)
dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-y^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{1-x^{2}}{1-y^{2}}=\frac{x^{2}+1-x^{2}}{y^{2}+1-y^{2}}=1$

Vậy x=y
Thế vào pt 1  , ta có:
$2y\sqrt{1+y}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow 4y^{2}(1+y)=2+\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 8y^{3}+8y^{2}-4-2\sqrt{2}=0$ ( chả lẽ khúc này bấm máy tính tr    )
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}y^{3}-1)+4(\sqrt{2}y-1)(\sqrt{2}y+1)=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2}y-1)(...)=0$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (nhân tử thứ 2 vô nghiệm    )
 

[conankun]

Mình xin đưa ra một lời giải gọn hơn của bài 39:

Với $PT(2)$ ta có: $VT\leq \frac{x^2-y^2+1}{2}+\frac{y^2+1-x^2}{2}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $x^2+y^2=1$

Áp dụng BĐT Bunhia ta có: $(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x})^2\leq (x^2+y^2)(x+y+2)=(x+y+2)\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}+2=\sqrt{2}+2\Rightarrow VT\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[conankun]

46) Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+y=4x\\ x^4+y^2=2x^2y+y-4 \end{matrix}\right.$

47) Giải pt: $\sqrt{-x^2+4x-3}+\sqrt{-2x^2+8x+1}=x^3-4x^2+4x+4$

(Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình)

48) Giải pt: $x^2-3x+3-\sqrt{x-2}-\sqrt{7-x}=0$

49) Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x+3=2\sqrt{(3y-x)(y+1)}\\ \sqrt{2y-3}-\sqrt{x-y}=x-3 \end{matrix}\right.$

(Trích đề thi HSG tỉnh Nam Định)

50) Giải pt: $\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

51) Giải pt: $\frac{(x-a)(x-b)}{c(c-a)(c-b)}+\frac{(x-c)(x-b)}{a(a-c)(a-b)}+\frac{(x-a)(x-c)}{b(b-a)(b-c)}=\frac{1}{x}$

(Trong đó a,b,c khác nhau và khác 0)

Edited by conankun, 06-05-2018 - 15:39.

[buingoctu]

46) Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+y=4x\\ x^4+y^2=2x^2y+y-4 \end{matrix}\right.$

 

 

p/s Vậy là TOPIC đã đạt ngưỡng 50 bài rồi!

Cộng vế vs vế của hệ ta được:

$x^4+y^2-2x^2y + x^2 -4x+4=0<=> (x^2-y)^2+(x-2)^2=0$....

Edited by buingoctu, 29-04-2018 - 20:22.

[buingoctu]

 

47) Giải pt: $\sqrt{-x^2+4x-3}+\sqrt{-2x^2+8x+1}=x^3-4x^2+4x+4$

 

ĐK:....

$x(x^2-4x+4)+1-\sqrt{-x^2+4x-3}+3-\sqrt{-2x^2+8x+1}<=>x(x^2-4x+4)+\frac{1+x^2-4x+3}{1+\sqrt{-x^2+4x-3}}+\frac{9+2x^2-8x-1}{3+\sqrt{-2x^2+8x-8}}=0<=>(x^2-4x+4)(x+\frac{1}{1+\sqrt{-x^2+4x-3}}+\frac{2}{3+\sqrt{-2x^2+8x+1}})....$ (đk x>1)

P/s: đáng lẽ nên gộp chung vào cho tiết kiệm, quên

Edited by buingoctu, 29-04-2018 - 20:23.

[buingoctu]

Haizzz, Các bạn giải quyết thật là mau!

 

 

Bài toán số 38: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=(x+y)^2+\sqrt{2x+2y}\\ x^2-xy=3 \end{matrix}\right.$

 

Đk: x+y$\geq 0$

$(x+y)^2-1+\sqrt{2x+2y}-\sqrt{x+y+1}=0<=>(x+y-1)(x+y+1)+\frac{x+y-1}{\sqrt{2x+2y}+\sqrt{x+y+1}}=0=>x+y-1=0$...

[Leuleudoraemon]

48) Giải pt: $x^2-3x+3-\sqrt{x-2}-\sqrt{7-x}=0$

pt $<=> x(x-3)+\frac{3-x}{1+\sqrt{x-2}}+\frac{x-3}{2+\sqrt{7-x}}=0 =>...$

[Leuleudoraemon]

Bài 52: Giải phương trình:

    $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2}$

 

Bài 53: giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+3}+2\sqrt{x}=3+\sqrt{y} & & \\ \sqrt{y^2+3}+2\sqrt{y}=3+\sqrt{x} & & \end{matrix}\right.$

 

Bài 54:giải phương trình:

$(x+3)\sqrt{-x^2-8x+48}=x-24$

Edited by Leuleudoraemon, 01-05-2018 - 06:38.

[conankun]

Tui xin làm bài 52:

Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a, \sqrt[3]{x+2}=b$ ta có: $a+b=ab+1$$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0....$

 

P/s: Có thánh nào giải bài 43 và 36 đi...

[Korkot]

Bài 43: Giài phương trình sau: $a.\frac{9x^{8}+84x^{6}+126x^{4}+36x^{2}+1}{x^{8}+36x^{6}+126x^{4}+84x^{2}+9}+x.\frac{9a^{8}+84a^{6}+126a^{4}+36a^{2}+1}{a^{8}+36a^{6}+126a^{4}+84a^{2}+9}=0$ với a là số thực cho trước.

Lúc đầu nhìn thấy bài này khá phức tạp nhưng nhìn thấy phần tô màu đỏ nên nghĩ thế này:

$\frac{9x^8+84x^6+126x^4+36x^2+1}{x^8+36x^6+126x^4+84x^2+9} > 0$ và  $\frac{9a^8+84a^6+126a^4+36a^2+1}{a^8+36a^6+126a^4+84a^2+9} > 0$

Nên để vế phải =0 với mọi(?) a là số thực cho trước thì x=-a.

Edited by Korkot, 29-04-2018 - 21:27.

[Korkot]

Bài 55. Giải pt sau:

$\sqrt{2x+4} -2\sqrt{2-x}= \frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$

Edited by Korkot, 29-04-2018 - 21:29.

[MarkGot7]

Bài 56: Giải phương trình:

        $2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0$

[thanhdatqv2003]

Bài 57: Giải pt:

$\sqrt[3]{x+6}+x^2=7-\sqrt{x-1}$

Edited by thanhdatqv2003, 06-05-2018 - 09:45.

[conankun]

 

 

Bài 54:giải phương trình:

$(x+3)\sqrt{-x^2-8x+48}=x-24$

 

Đặt $t=\sqrt{-x^2-8x+48}(t\geq 0)$

Theo bài ra ta có: $t^2+2(x+3)t+x^2+6x=0$

Suy ra: $t=-x$ hoặc $t=-x-6$

Tiếp tục giải... 

Edited by conankun, 29-04-2018 - 22:35.

[Roro1230]

Bài 55. Giải pt sau:

$\sqrt{2x+4} -2\sqrt{2-x}= \frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$

ta có: 
$12x-8=2(6x-4)=2(2x+4-4(2-x))=2(\sqrt{2x+4}^{2}-(2\sqrt{2-x})^{2})=2(\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x})(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x})$
Vậy pt $\Leftrightarrow (\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x})(2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}-\sqrt{9x^{2}+16})=0$
Đến đây tách từng trường hợp rồi giải ... 
p/s( Có cách nào khác ko? Thấy cách này tách 12x-8 khó quá    )

[buingoctu]

Bài 57: Giải pt:

$\sqrt[3]{x+6}+x^2=7-\sqrt{x-1}$

ĐK: x$\geq 1$

Trục căn thức?

$(\sqrt[3]{x+6}-2)+(x^2-4)+(\sqrt{x-1}-1)=0$=> (x-2).X=0 => x=2 (X>0)

Edited by buingoctu, 30-04-2018 - 14:51.

[thanhdatqv2003]

ta có: 
$12x-8=2(6x-4)=2(2x+4-4(2-x))=2(\sqrt{2x+4}^{2}-(2\sqrt{2-x})^{2})=2(\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x})(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x})$
Vậy pt $\Leftrightarrow (\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x})(2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}-\sqrt{9x^{2}+16})=0$
Đến đây tách từng trường hợp rồi giải ... 
p/s( Có cách nào khác ko? Thấy cách này tách 12x-8 khó quá    )

Đặt luôn :$\sqrt{2x+4}=a; \sqrt{8-4x}=b \Rightarrow a^2-b^2=6x-4 \Rightarrow 2(a^2-b^2)=12x-8$

làm tiếp như bài trên

P/s: nhưng giải cái pt 2 thì bậc 4 luôn 

[Roro1230]

 2x+1+x√x2+2+(x+1)√x2+2x+3=0(1)

pt $\Leftrightarrow 4x+2+2x\sqrt{x^{2}+2}+2(x+1)(\sqrt{(x+1)^{2}+2})=0$

$\Leftrightarrow (x^{2}+2x+1)+2(x+1)(\sqrt{(x+1)^{2}+2})+(x+1)^{2}+2)-(x^{2}-2x\sqrt{x^{2}+2}+x^{2}+2)=0$

$\Leftrightarrow (x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+2})^{2}-(x-\sqrt{x^{2}+2})^{2}=0$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{(x+1)^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2})(2x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2})=0$

nhân tử thứ 1 luôn lớn hơn 0

xét nhân tử thứ 2 và pt(1), ta có được đẳng thức

$\sqrt{(x+1)^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2}=x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{(x+1)^{2}+2}$

$\Leftrightarrow -(1+x)\sqrt{x^{2}+2}=x\sqrt{(x+1)^{2}+2}$
$\Leftrightarrow \frac{-(1+x)}{x}=\frac{\sqrt{(x+1)^{2}+2}}{\sqrt{x^{2}+2}}$
Tới đây bình phương rồi theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau trừ đi thì ra

$\frac{-(1+x)}{x}=1 \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$
(p/s: Kiểm tra dùm cách tui đúng ko nha    )

Edited by Roro1230, 30-04-2018 - 01:24.