Chủ đề này có 192 trả lời

[minh1437]

Bài số 28: Giải hệ pt:      x3+2y2−4y+3=0 (1)

                                           x2+x2y2−2y=0 (2)

 

Giải:

Ta có (2)$\Leftrightarrow x^{2}(y^{2}+1)=2y \Leftrightarrow x^{2}=\frac{2y}{y^{2}+1}\leqslant 1 (AM-GM)$

$\Rightarrow x^{2}\leqslant 1 \Leftrightarrow -1\leqslant x\leqslant 1$

Từ (1) $\Leftrightarrow VT=x^{3}+1+2(y+1)^{2}\geqslant -1+1+0=0=VP$

Dấu = sảy ra khi x=-1 và y=1

p/s 1 : cái này dùng cô si không biết đúng hay sai nha        Có cách khác nhớ chỉ mình sắp thi vào lớp 10 rồi   

p/s 2 : mình ấn mãi dấu " và " không được thông cảm nha 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh1437: 28-04-2018 - 19:35

[Roro1230]

Bài 18: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} (x+1)^2+y=xy+4\\ 4x^2-24x+35=5(\sqrt{3y-11}+\sqrt{y}) \end{matrix}\right.$

 

pt đầu $\Leftrightarrow$ (x-y+3)(x-1)=0
TH1: Với x=1 $\Rightarrow$ 5($\sqrt{3y-11}$+$\sqrt{y}$)=15
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3y-11}$+$\sqrt{y}$=3
Giải pt --> y=4
TH2:x+3=y $\Rightarrow$ 4x$^{2}$-24x+35=5($\sqrt{3x-2}$+$\sqrt{x+3}$)
Tới đây bí rồi. Mấy bạn giải hộ pt này nha....    

[MarkGot7]

Bài 31: Giải hệ phương trình:

      $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}= xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} & \\ 4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}= 9(y-1)\sqrt{2x-2}& \end{matrix}\right.$

[conankun]

Các bài toán tiếp theo:

Bài số 32: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=3(a+b+c)^2 \\ \sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}=2 \end{matrix}\right.$

Bài số 33: Giải phương trình: $\sqrt{x^4-x^2-2x+3}=x(2-x)$

Bài số 34: Giải pt: $\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+2}=x+\frac{4}{x}$

Bài số 35: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+x+2=2y\\ 3(x^2+x)=y^3-y \end{matrix}\right.$

 

p/s: TOPIC hoạt động sôi nổi quá! Tiếp tục phát huy nha mọi người.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 29-04-2018 - 13:24

[Korkot]

Các bài toán tiếp theo:

Bài số 33: Giải phương trình: $\sqrt{x^4-x^2-2x+3}=x(2-x)$

p/s: TOPIC hoạt động sôi nổi quá! Tiếp tục phát huy nha mọi người.

Xí bài dễ trước

Bài 33 : Đkxđ( bài này đặt đk ở vế phải nha)

Pt đã cho $\Rightarrow x^4-x^2-2x+3=x^4-4x^3+4x^2$

$\Leftrightarrow 4x^3--5x^2-2x+3=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(4x^2-x-3)=0$

Giải 2 pt có 2 nghiệm 1 và $\frac{-3}{4}$

Thử lại ta nhận 1 làm nghiệm

P/s mấy pt có căn mình chỉ biết bình phương nên mong các bạn đưa ra nhiều lời giải khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 28-04-2018 - 21:51

[conankun]

Một cách giải khác của bài 27:

Ta có: $9x^2-5x=(2-x)\sqrt{3x^2-8x+3}\Leftrightarrow (9x^2-6x+1)+x-1=(2-x)\sqrt{3x^2-7x+2-x+1}\Leftrightarrow (3x-1)^2+x-1=(2-x)\sqrt{(3x-1)(x-2)-x+1}$

Đặt $\sqrt{(3x-1)(x-2)-x+1}=a, b=3x-1$ ta có:

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2+(x-1)=(2-x)a\\ a^2+x-1=(x-2)b \end{matrix}\right. \Rightarrow a^2-b^2=(x-2)(a+b)\Rightarrow (a+b)(a-b-x+2)=0...$

Đến đây xét từng TH là xong!

 

p/s: Vậy là bài 27 có tận 3 cách giải!

[conankun]

Một cách giải khác của bài 33:  

Ta có: $VT=\sqrt{x^4-x^2-2x+3}=\sqrt{(x^2-1)^2+(x-1)^2+1}\geq 1$

$VP=x(2-x)=2x-x^2\leq x^2+1-x^2=1$

Dấu '=' xảy ra khi : $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 28-04-2018 - 22:01

[Korkot]

Bài số 34: Giải pt: $\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+2}=x+\frac{4}{x}$

 

p/s: TOPIC hoạt động sôi nổi quá! Tiếp tục phát huy nha mọi người.

 

Đkxđ:...

 

Pt đã cho $\Leftrightarrow \frac{x^2+4}{\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+2}}- \frac{x^2+4}{x} =0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+2} = x$ (vì $x^2+4>0$ với mọi x)

$\Leftrightarrow  \sqrt{2x^2+x+6}=x+\sqrt{x^2+x+2}$   (từ đkxđ có x>0 nên mình xin bình phương lần nữa )

$\Leftrightarrow 2x^2+x+6=x^2 +x^2+x+2 +2x\sqrt{x^2+x+2}$

$\Leftrightarrow 2=x\sqrt{x^2+x+2}$ (đkxđ x>0)

$\Leftrightarrow 4=x^4+x^3+2x^2$

$\Leftrightarrow x^4+x^3+2x^2-4=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^3+2x^2+4x+4)=0$

Ta nhận x=1 làm nghiệm (Pt bậc 3 bên kia >0 với x>0)

Mong mọi người đề xuất cách khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 28-04-2018 - 22:51

[Roro1230]

 

Bài số 35: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+x+2=2y\\ 3(x^2+x)=y^3-y \end{matrix}\right.$

 

 

Ta có: (x$^{3}$+x+2)+3(x$^{2}$+x)=2y+y$^{3}$-y
$\Leftrightarrow$ ((x+1)$^{3}$-y$^{3}$)+(x+1-y)=0
$\Leftrightarrow$  (x+1-y)((x+1)$^{2}$+(x+1)y+y$^{2}$+1))=0
$\Rightarrow$ x+1=y . Thế vào pt đầu ta được nghiệm 
x=1-->y=2
x=0-->y=1
x=-1-->y=0
Bài 31: Đk:(x,y $\geq$1)
xy$\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$ $\geq$xy(x+y).
$\Leftrightarrow$ x$^{3}$+y$^{3}$ $\geq$ xy(x+y)
$\Rightarrow$ x=y
Thế vào pt 2 ... . Mình ko biết giải pt 2 bạn nào làm được bài 31 đăng lên topic dùm nha. Thanks   

[conankun]

Một cách giải khác của bài 34:  

Đặt $\sqrt{2x^2+x+6}=a,\sqrt{x^2+x+2}=b$ ta có: 

$(a+b)x=a^2-b^2\Rightarrow (a+b)(a-b-x)=0$....

Với TH2: Ta có hê: $\left\{\begin{matrix} a-b=x\\ a+b=x+\frac{4}{x} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2b=\frac{4}{x}\Rightarrow \sqrt{x^2+x+2}=\frac{4}{x^2}...$

Tiếp tục giải, ta có nghiệm duy nhất $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 28-04-2018 - 23:00

[Ice Fire]

Các bài toán tiếp theo:

Bài số 32: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=3(a+b+c)^2 \\ \sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}=2 \end{matrix}\right.$

Bài số 33: Giải phương trình: $\sqrt{x^4-x^2-2x+3}=x(2-x)$

Bài số 34: Giải pt: $\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+2}=x+\frac{4}{x}$

Bài số 35: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+x+2=2y\\ 3(x^2+x)=y^3-y \end{matrix}\right.$

 

p/s: TOPIC hoạt động sôi nổi quá! Tiếp tục phát huy nha mọi người.

$$\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)=3(a+b+c)^{2}(1) & \\\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}=2(2) & \end{matrix}\right.$$

ĐK:a>=0,b>=1,c>=0

Xét (1):Ta có:$(a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\geq a^{2}+b^{2}+1$

khi đó: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)=(a^{2}b^{2}+2a^{2}+2b^{2}+4)(c^{2}+2)\geq (c^{2}+2)(3a^{2}+3b^{2}+3)=3(a^{2}+b^{2}+1)(c^{2}+2)=3(a^{2}+b^{2}+1)(1+1+c^{2})\geq 3(a+b+c)^{2}$ (theo C-S)

Nguồn BĐT:1 bài đăng ở topic ôn BĐT

Dấu "=" xảy ra khi:$a=b=\frac{1}{c}$

=>a,b>=1;c>0

thay $a=b=\frac{1}{c}$ vào (2) ta được:

$\sqrt{a}+\sqrt{a-1}+\sqrt{\frac{1}{a}}=2$

<=> a=1

<=>a=b=c=1

Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ice Fire: 28-04-2018 - 23:29

[conankun]

$$\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)=3(a+b+c)^{2}(1) & \\\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}=2(2) & \end{matrix}\right.$$

ĐK:a>=0,b>=1,c>=0

Xét (1):Ta có:$(a^{2}-1)(b^{2}-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}\geq a^{2}+b^{2}+1$

khi đó: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)=(a^{2}b^{2}+2a^{2}+2b^{2}+4)(c^{2}+2)\geq (c^{2}+2)(3a^{2}+3b^{2}+3)=3(a^{2}+b^{2}+1)(c^{2}+2)=3(a^{2}+b^{2}+1)(1+1+c^{2})\geq 3(a+b+c)^{2}$ (theo C-S)

Nguồn BĐT:1 bài đăng ở topic ôn BĐT

 

Cảm ơn lời giải của Ice Fire nhưng bạn ơi bđt mình tô màu đỏ không chặt bạn ạ. Thử lấy cặp số (0,5; 2) thử xem.

Hơn nữa, ở phương trình cuối cùng $\sqrt{a}+\sqrt{a-1}+\sqrt{\frac{1}{a}}=2$ thì làm sao bạn ($a,b,c\notin Z$)

Phương trình (2) chỉ là cái bẫy do mình tạo ra thôi, chứ nó không có tác dụng lắm đâu.

Sau đây lời giải của mình(bài này do tôi sáng tác  )

Từ pt(2) ta có: $a\geq 0, b\geq 1, c\geq 0$

Lại có: $(a+b+c)^2=(a.1+\sqrt{2}.\frac{(b+c)}{\sqrt{2}})^2\leq (a^2+2)(1+(\frac{b+c}{2})^2)$

Bài toán đưa về chứng minh: $3(1+\frac{(b+c)^2}{2})\leq (b^2+2)(c^2+2)\Leftrightarrow \frac{(b-c)^2}{2}+(bc-1)^2\geq 0$(BĐT đúng hiển nhiên)

Dấu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} a=\frac{2}{a+b}\\ b=c\\ bc=1\\ a\geq 0,c\geq 0,b\geq 1 \end{matrix}\right.$

suy ra: $a=b=c=1$ (T/m với pt (2))

Vậy $a=b=c=1$

 

p/s: Mình tưởng bài bất này là một toán quen chứ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 29-04-2018 - 09:03

[conankun]

Haizzz, Các bạn giải quyết thật là mau!

 

Bài toán số 36: Với a,b,c >0

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} ab^2+bc^2+ca^2=1056\\ \sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}=  \frac{19}{4}\end{matrix}\right.$

Bài toán số 37: Giải pt: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$

Bài toán số 38: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1}+1=(x+y)^2+\sqrt{2x+2y}\\ x^2-xy=3 \end{matrix}\right.$

Bài toán số 39: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1 \end{matrix}\right.$

Bài toán số 40: Giải pt: $2x^2+2x+1=(4x-1)\sqrt{x^2+1}$

 

p/s: Mọi người có bài nào post lên cùng giải, mình sắp hết tài liệu rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 29-04-2018 - 20:53

[trieutuyennham]

Bài 41:GHPT

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$

[PhanThai0301]

Bài 42: Giải phương trình: $\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}=1$.
Bài 43: Giài phương trình sau: $a.\frac{9x^{8}+84x^{6}+126x^{4}+36x^{2}+1}{x^{8}+36x^{6}+126x^{4}+84x^{2}+9}+x.\frac{9a^{8}+84a^{6}+126a^{4}+36a^{2}+1}{a^{8}+36a^{6}+126a^{4}+84a^{2}+9}=0$ với a là số thực cho trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 29-04-2018 - 19:17

[conankun]

Bài 41:GHPT

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$

Đây là lời giải của em, có gì sai sót mong mọi người chỉ giáo!

Bài 41: 

Ta có: $x\sqrt{x^2+3}+y\sqrt{y^2+6}-x^2-y^2=2\Leftrightarrow x(\sqrt{x^2+3}-x)+y(\sqrt{y^2+3}-y)=2\Leftrightarrow x\dfrac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}+y\dfrac{6}{\sqrt{y^{2}+6}+y}=2\Leftrightarrow\dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+1}+\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}+1}=2$

Từ pt (1) ta có: $\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}=7$

Đặt $\dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}+1=a$, $\dfrac{\sqrt{y^{2}+6}}{y}+1=b$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b=9 & & \\ \dfrac{3}{a}+\dfrac{6}{b}=2& & \end{matrix}\right.$.....

đến đây là OK rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 29-04-2018 - 10:01

[viet9a14124869]

Bài 41:GHPT

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y^{2}+6}+y\sqrt{x^{2}+3}=7xy\\ x\sqrt{x^{2}+3}+y\sqrt{y^{2}+6}=x^{2}+y^{2}+2 \end{matrix}\right.$

Xét thấy với x hoặc y bằng 0 thì hệ vô nghiệm

Hệ phương trình tương đương : $\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x^2+3}}{x}+\frac{\sqrt{y^2+6}}{y}=7 & \\ \frac{3x}{x+\sqrt{x^2+3}}+\frac{6y}{y+\sqrt{y^2+6}}=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=7 & \\ \frac{3}{1+a}+\frac{6}{1+b}=2 & \end{matrix}\right.$

Trong đó $\left\{\begin{matrix} a=\frac{\sqrt{x^2+3}}{x} & \\ b=\frac{\sqrt{y^2+6}}{y} & \end{matrix}\right.$

Rút a=7-b rồi thay vào phương trình dưới , ta có : 

$$\frac{3}{1+(7-b)}+\frac{6}{1+b}=2$$

$$\Leftrightarrow (b-5)(2b-7)=0$$

Đến đây xét 2 trường hợp là ra , mọi người thử tiếp nhé 

[Korkot]

Haizzz, Các bạn giải quyết thật là mau!

Bài toán số 37: Giải pt: $\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3$

p/s: Mọi người có bài nào post lên cùng giải, mình sắp hết tài liệu rồi!

Bài 37 Đkxđ...

Pt đã cho $\Leftrightarrow \frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1} + \sqrt{4x^2-4x+4}} -(9x-3)=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3} $ hay $\sqrt{4x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+5x+1}=1$(2)

Từ (2) ta có $4x^2-4x+4 = 1+4x^2+5x+1-2\sqrt{4x^2+5x+1}$

$\Leftrightarrow 9x-2=2\sqrt{4x^2+5x+1}$

$\Leftrightarrow 81x^2-36x+4=16x^2+20x+4$

$\Leftrightarrow 65x^2-56x=0$

Giải pt nhận x=0 và $ x=\frac{56}{65}$ làm nghiệm

Thử vào pt đầu bài nhận $x=\frac{1}{3}$ làm nghiệm duy nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 29-04-2018 - 10:56

[Korkot]

Bài 44: Cho hpt $\left\{\begin{matrix} x+xy+y=m+2\\ x^{2}y+xy^2=m+1 \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 29-04-2018 - 20:18

[conankun]

Lời giải bài 44:

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=m+2\\ x^2y+xy^2=m+1 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)+xy=m+2\\ xy(x+y)=m+1 \end{matrix}\right.$

Đặt x+y=a, xy=b ta có: $\left\{\begin{matrix} a+b=m+2\\ ab=m+1 \end{matrix}\right.$

suy ra a, là nghiệm của pt: $x^2-(m+2)x+m+1=0$

Để pt có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta =(m+2)^2-4(m+1)=m^2=0\Leftrightarrow m=0$

Vậy m=0 thì pt có nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 29-04-2018 - 20:14