Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $1^{n}+2^{n}+3^{n}+...+2016^{n}$ không chia hết $2017$

[Duy Thai2002]

Ta sẽ đi giải bài toán sau:

Cho p là số nguyên tố lẻ, $k\in \mathbb{N}$ sao cho $1\leq k< p-1$ thì 

$1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}$ chia hết cho$p$

Chứng minh bài toán trên

Gọi S= $1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}$ 

Gọi $a$ là căn nguyên thủy của p

Theo tính chất căn nguyên thủy, ta được:

${a,a^{2},...,a^{p-1}}$ là một hệ thặng dư thu gọn của $p$. Do đó:

$S\equiv a^{k}+a^{2k}+...+a^{(p-1)k}=\frac{a^{pk}-a^{k}}{a^{k}-1}\equiv 0$ (mod $p$) ( Do $k<p-1$)

Vậy  $1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}$ chia hết cho$p$

Quay lại bài toán:

Ta thấy 2017 là số nguyên tố 

Với $n<2016$ thì $1^{n}+2^{n}+...+2016^{n}$ chia hết cho$2017$

Do đó với TH $n<2016$ không tồn tại  n thỏa yêu cầu đề.

Với $n=2016$

Theo định lý Fermat, ta được:

$1^{n}+2^{n}+...+2016^{n}\equiv 2016$ (mod $2017$) nên $n=2016$ thỏa yêu cầu đề bài.

Vậy n nhỏ nhất = 2016