Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.
p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 04-06-2018 - 18:23
Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.
p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 04-06-2018 - 18:23
$\large \mathbb{Conankun}$
Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.
p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt
Phân tích ra có $P(x)= x^4+(a+b+c)x^3+(ab+bc+ca)x^2+abcx+1$ là scp
Mà P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số tự do là 1 nên để P(x) là scp ta có các TH:$P(x) \in {(x+1)^4 ;(x-1)^4; (x^2+1)^2;(x^2-1)^2...}$
Để P(x) luôn là scp với mọi x nguyên thì các hệ số mũ tương ứng của P(x) phải bằng các hệ số mũ của đa thức tương ứng
TH $P(x)=(x+1)^4$ thì a+b+c=6;abc=6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)
TH $P(x)=(x-1)^4$ thì a+b+c=-6;abc=-6;ab+bc+ca=10 (ko có nghiệm nguyên)
TH $P(x)=(x^2+1)^2$ thì a+b+c=abc=0; ab+bc+ca=2 (vô nghiệm)
Cmtt vs $P(x)=(x^2-1)^2$ thì ko tồn tại a,b,c nguyên
Giờ ta xét $P(x)=(x^2+dx+1)^2$ với d nguyên thì ta có $P(x)=x^4+d^2x^2+1+2dx^3+2x^2+2dx=x^4+2dx^3+x^2(d^2+2)+2dx+1$
Suy ra a+b+c=2d; ab+bc+ca=$d^2+2$; abc=2d thì ta có a+b+c=abc tức (a;b;c)=(1;2;3),(-1;-2;-3) và các hoán vị. Vs a,b,c như vậy ta tìm được d nguyên
CMTT với $P(x)=(x^2-dx+1)^2; P(x)=(x^2-dx-1)^2; P(x)=(x^2+dx-1)^2$ ta tìm được (a;b;c)=(1;2;3), (-1;-2;-3) và các hoán vị
P/S kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 04-06-2018 - 19:47
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a\sqrt{bc}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2+b^2+c^2}+....$Bắt đầu bởi conankun, 13-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$3(a+2)(b+2)(c+1)...$Bắt đầu bởi conankun, 12-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+...$Bắt đầu bởi conankun, 08-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a+b}{4+bc}+\frac{b+c}{4+ca}+\frac{c+a}{4+ab}\geq \frac{3}{2}$Bắt đầu bởi conankun, 05-06-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$Bắt đầu bởi conankun, 31-05-2018 0404 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh