Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+...$

0404

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 conankun

conankun

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-07-2018 - 19:16

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 08-07-2018 - 19:17

                       $\large \mathbb{Conankun}$


#2 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 08-07-2018 - 21:48

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 08-07-2018 - 21:48

                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#3 Ha Minh Hieu

Ha Minh Hieu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS TRẦN MAI NINH , THANH HÓA CITY
  • Sở thích:XEM ANIME

Đã gửi 08-07-2018 - 21:51

Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 

 

$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$ 

$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$ 

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .

MỘT CÁCH LÀM HAY KHI SỬ DỤNG SOS, CÁI MAY MẮN Ở ĐÂY LÀ CÁC HỆ SỐ ĐỀU DƯƠNG



#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 09-07-2018 - 15:05

$$\left ( \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{b\left ( c+ a \right )}{c^{2}+ a^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{c\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ b^{2}} \right )^{-1}\,\geqq\, \frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ bc+ ca}$$

 

Spoiler

 







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh