Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:
$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 08-07-2018 - 19:17
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:
$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 08-07-2018 - 19:17
$\large \mathbb{Conankun}$
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ ta luôn có:
$$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+a^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 08-07-2018 - 21:48
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Nhân hai vế bất đẳng thức với $a^2+b^2+c^2$ thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$[\frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+a(b+c)]+[\frac{b^3(c+a)}{c^2+a^2}+b(c+a)]+[\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}+c(a+b)]\geq (a+b+c)^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^3(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^3(c+a))}{c^2+a^2}+\frac{c^3(a+b)}{a^2+b^2}\geq a^2+b^2+c^2$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a^2+ab+b^2+c^2)}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}.(a-b)^2 \geq 0$$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do a,b,c không âm . Hoàn tất chứng minh .
MỘT CÁCH LÀM HAY KHI SỬ DỤNG SOS, CÁI MAY MẮN Ở ĐÂY LÀ CÁC HỆ SỐ ĐỀU DƯƠNG
$$\left ( \frac{a\left ( b+ c \right )}{b^{2}+ c^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{b\left ( c+ a \right )}{c^{2}+ a^{2}} \right )^{-1}\,+ \,\left ( \frac{c\left ( a+ b \right )}{a^{2}+ b^{2}} \right )^{-1}\,\geqq\, \frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}{ab+ bc+ ca}$$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a\sqrt{bc}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})^2+b^2+c^2}+....$Bắt đầu bởi conankun, 13-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$3(a+2)(b+2)(c+1)...$Bắt đầu bởi conankun, 12-07-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a+b}{4+bc}+\frac{b+c}{4+ca}+\frac{c+a}{4+ab}\geq \frac{3}{2}$Bắt đầu bởi conankun, 05-06-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là số chính phươngBắt đầu bởi conankun, 04-06-2018 0404 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ca}\leq 3(a+b+c)$Bắt đầu bởi conankun, 31-05-2018 0404 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh