$\boxed{13}$ Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f\left(\dfrac{x+y}{x-y} \right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$ $x\neq y$
Dễ dàng chứng minh được $f(x)$ đơn ánh
$P(x,0) \Rightarrow f(1)=\frac{f(x)+f(0)}{f(x)-f(0)}$ $\forall x\ne 0$
Suy ra $f(1)=1$ (bởi vì nếu xảy ra điều ngược lại thì $f(x)$ là hàm hằng, vô lý) và từ đó $f(0)=0$
$P(x,-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)$ $\forall x\ne 0$, điều này vẫn đúng với $x=0$,suy ra $f(x)$ là hàm lẻ
Cho $x\in\mathbb R$ và $y\in\mathbb R\setminus\{0\}$
$P(x,1)\Rightarrow f(\frac{x+1}{x-1})=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}$
$P(xy,y)\Rightarrow f(\frac{x+1}{x-1})=\frac{f(xy)+f(y)}{f(xy)-f(y)}$
Trừ hai cái ở trên, vế theo vế ta được $f(xy)=f(x)f(y)$ $\forall x$, $\forall y\ne 0$, vẫn đúng với $y=0$
Để ý rằng ta có được $f(x^2)=f(x)^2$ cho nên $f(x)>0$ $\forall x>0$
Vì vậy $f(x)$ là một hàm chứa biến $x$ (khác hằng)
Chú ý $P(x,y)$ với $x,y>0$, ta có $f(x)>f(y)$ $\forall x>y>0$ và vì vậy $f(x)$ tăng trong tập $\mathbb R^+$
Vì $f$ là hàm nhân tính nên $P(x,y)$ có thể được viết lại với
$Q(x,y)$ : $f(x+y)(f(x)-f(y))=f(x-y)(f(x)+f(y))$ $\forall x\ne y$, vẫn đúng với $x=y$
Đặt $a=f(2)\ne 0$ vì $f$ đơn ánh, suy ra $f(4)=a^2$
Vì $f$ đơn ánh nên $a\notin\{f(-1),f(0),f(1)\}=\{-1,0,1\}$
$Q(2,1)$ $\implies$ $f(3)=\frac{a+1}{a-1}$
$Q(4,1)$ $\implies$ $f(5)=\frac{a^2+1}{(a-1)^2}$ (1)
$Q(2,3)$ $\implies$ $f(5)=\frac{a^2+1}{2a+1-a^2}$ (2)
Từ (1), (2) suy ra $a=2$
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp ta được $Q(n,1)$ $\Rightarrow$ $f(n)=n$ và dùng tính chất nhân tính của hàm số ta có $f(x)=x\forall x\in\mathbb Q$
Vì $f$ tăng trong $\mathbb R^+$, suy ra $f(x)=x$ $\forall x\ge 0$
Cuối cùng, vì $f$ là hàm lẻ nên $\boxed{f(x)=x\quad\forall x}$, thử lại thấy thỏa mãn.