Bài 48: Cho $a,b,c$ thỏa mãn $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leqslant 10$
Vì $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{b}\leqslant 1,\frac{b}{c}\leqslant 1,\frac{c}{b}\geqslant 1,\frac{b}{a}\geqslant 1\Rightarrow (\frac{a}{b}-1)(\frac{b}{c}-1)+(\frac{c}{b}-1)(\frac{b}{a}-1)\geqslant 0\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leqslant \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2$
Cũng do $1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant 2$ nên $\frac{a}{c}\geqslant \frac{1}{2},\frac{a}{c}<2\Rightarrow (2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leqslant 0\Rightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leqslant \frac{5}{2}$
Như vậy: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\leqslant 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leqslant 10(Q.E.D)$
Edited by KietLW9, 19-04-2021 - 11:49.