Đến nội dung


Hình ảnh

\[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}\]

@ji123

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1401 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 22-07-2021 - 16:48

Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được

$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$



#2 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 26-07-2021 - 08:50

Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\Leftrightarrow (\sqrt{5-4a}+2\sqrt{5-4b})^2\geq 17$
$\Leftrightarrow (5-4a)+4(5-4b)+4\sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq 17$
$\Leftrightarrow \sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq a+4b-2$
$\Leftrightarrow 25-20(a+b)+16ab\geq (a+4b-2)^2$
$\Leftrightarrow a^2+16b^2-8ab+16a+4b\geq 21$
$\Leftrightarrow (a-4b)^2+4(4a+b)\leq 21$
Lại có: $a^2+b^2=1\Rightarrow 17a^2+17b^2=17\Rightarrow (a-4b)^2+(4a+b)^2=17$
$\Rightarrow -(4a+b)^2+4(4a+b)\leq 4\Leftrightarrow (4a+b-2)^2\geq 0$ (luôn đúng).

 

Nguồn: AoPS :>






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh