Đến nội dung


Hình ảnh

\[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}\]

@ji123

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 22-07-2021 - 16:48

Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được

$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$



#2 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 26-07-2021 - 08:50

Bất đẳng thức trên tương đương với:
$\Leftrightarrow (\sqrt{5-4a}+2\sqrt{5-4b})^2\geq 17$
$\Leftrightarrow (5-4a)+4(5-4b)+4\sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq 17$
$\Leftrightarrow \sqrt{25-20(a+b)+16ab}\geq a+4b-2$
$\Leftrightarrow 25-20(a+b)+16ab\geq (a+4b-2)^2$
$\Leftrightarrow a^2+16b^2-8ab+16a+4b\geq 21$
$\Leftrightarrow (a-4b)^2+4(4a+b)\leq 21$
Lại có: $a^2+b^2=1\Rightarrow 17a^2+17b^2=17\Rightarrow (a-4b)^2+(4a+b)^2=17$
$\Rightarrow -(4a+b)^2+4(4a+b)\leq 4\Leftrightarrow (4a+b-2)^2\geq 0$ (luôn đúng).

 

Nguồn: AoPS :>



#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 1496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 02-08-2021 - 14:23

XTension. Chứng minh với $25a^{2}+ 16b^{2}+ 9c^{2}= 25$ và $b\geq c$ có được

$$\sqrt{5- 4a}+ \sqrt{5- 4b}+ \sqrt{5- 4c}\geq\sqrt{17}$$



#4 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1389 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:DS [ÒwÓ]

Đã gửi 02-08-2021 - 16:13

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#5 Hoang72

Hoang72

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Âm nhạc

Đã gửi 02-08-2021 - 16:25

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?

Em nghĩ nếu $a+4b-2<0$ thì bất đẳng thức đúng do $VT\geq 0>VP$.



#6 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1389 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:DS [ÒwÓ]

Đã gửi 02-08-2021 - 17:12

Nhưng mà muốn bình phương 2 vế bất đẳng thức phải không âm chứ em?
Ví dụ 3>-5 thì ý em sao?
  • DBS yêu thích
$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#7 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4405 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 03-08-2021 - 00:28

Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được

$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Mặc dù anh chưa giải ra nhưng có vẻ có một cách hình học :) Chúng ta biến đổi như sau:

\[\begin{array}{l}
A = \sqrt {\frac{5}{4} - a}  + \sqrt {5 - 4b} \\
 = \sqrt {\frac{{4{a^2} + 4{b^2} + 1}}{4} - a}  + \sqrt {4{a^2} + 4{b^2} + 1 - 4b} \\
 = \sqrt {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {b^2}}  + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}}
\end{array}\]

Đặt $M\left( {a;b} \right);N\left( {\frac{1}{2};0} \right);P\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$ thì

\[A = MN + 2MP\]

Với $M$ là một điểm di động trên đường đơn vị $(C): x^2 + y^2 = 1$. Có điều tới đây thì... bí :(

MN+2MP.png


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#8 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 03-08-2021 - 07:59

Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.

Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?

Em vừa dùng Wolfram để giải hệ bất phương trình: $\begin{cases} a^2+b^2=1 \\ a+4b-2<0 \end{cases}$ thì chỉ có một trường hợp $x=0$ và $y=-1$ thoả mãn, nhưng trong trường hợp này BĐT trên luôn đúng.

 

Chị có thể tham khảo tại link này.



#9 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1389 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:DS [ÒwÓ]

Đã gửi 03-08-2021 - 08:28

:) Chắc em chưa biết xài Wolfram rồi em. 

$a=-1,b=0$ và ngược lại là các biên và Wolfram ghi rõ đó là integer solution.

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

 

P/S: Cách giải biến đổi tương đương đối với PT, HPT hay BPT đều phải cần thận trong quá trình bình phương hoặc lấy căn.

Cách giải của bạn DBS chỉ đúng khi $a+4b-2$ thay bằng $|a+4b-2|$.

 

Và wolfram chỉ là 1 công cụ để tham khảo :) có thể nói là wolfram giải rất tốt các bài PT HPT nhưng BPT là 1 khía cạnh cần phải xem xét lại. 


  • DBS yêu thích
$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$

#10 DBS

DBS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Bất đẳng thức, phương trình vô tỷ

Đã gửi 03-08-2021 - 09:42

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: @ji123

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh