Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được
$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$
Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được
$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$
Nguồn: AoPS :>
Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.
Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.
Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?
Em nghĩ nếu $a+4b-2<0$ thì bất đẳng thức đúng do $VT\geq 0>VP$.
Chứng minh với $a^{2}+ b^{2}= 1$ có được
$$\sqrt{\frac{5}{4}- a}+ \sqrt{5- 4b}\geq\frac{\sqrt{17}}{2}$$
Mặc dù anh chưa giải ra nhưng có vẻ có một cách hình học Chúng ta biến đổi như sau:
\[\begin{array}{l}
A = \sqrt {\frac{5}{4} - a} + \sqrt {5 - 4b} \\
= \sqrt {\frac{{4{a^2} + 4{b^2} + 1}}{4} - a} + \sqrt {4{a^2} + 4{b^2} + 1 - 4b} \\
= \sqrt {{{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {b^2}} + 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - \frac{1}{2}} \right)}^2}}
\end{array}\]
Đặt $M\left( {a;b} \right);N\left( {\frac{1}{2};0} \right);P\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$ thì
\[A = MN + 2MP\]
Với $M$ là một điểm di động trên đường đơn vị $(C): x^2 + y^2 = 1$. Có điều tới đây thì... bí
Ở dấu tương đương thứ $3$ hình như không đúng lắm vì $a+4b-2$ chưa chắc dương.
Thử $a<0$ và $b=-\sqrt{1-a^2}$ thì không bình phương hai về được. ?
Em vừa dùng Wolfram để giải hệ bất phương trình: $\begin{cases} a^2+b^2=1 \\ a+4b-2<0 \end{cases}$ thì chỉ có một trường hợp $x=0$ và $y=-1$ thoả mãn, nhưng trong trường hợp này BĐT trên luôn đúng.
Chị có thể tham khảo tại link này.
Chắc em chưa biết xài Wolfram rồi em.
$a=-1,b=0$ và ngược lại là các biên và Wolfram ghi rõ đó là integer solution.
Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.
P/S: Cách giải biến đổi tương đương đối với PT, HPT hay BPT đều phải cần thận trong quá trình bình phương hoặc lấy căn.
Cách giải của bạn DBS chỉ đúng khi $a+4b-2$ thay bằng $|a+4b-2|$.
Và wolfram chỉ là 1 công cụ để tham khảo có thể nói là wolfram giải rất tốt các bài PT HPT nhưng BPT là 1 khía cạnh cần phải xem xét lại.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.
Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng:$$a+ ab+ abc\geq a^{2}+ b^{2}+ c^{2}$$Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 25-11-2021 @ji123, 23°c |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh