#1
Đã gửi 20-07-2022 - 23:48
$$f(x)=-\frac{\lfloor x\rfloor}{x^n}+\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{k^n}$$
- DOTOANNANG và Hoang72 thích
#2
Đã gửi 21-07-2022 - 04:37
Chứng minh rằng:
$$\boxed{\int_1^x \bigg(-\frac{\lfloor t\rfloor}{t}+\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}\frac{1}{k}\bigg)dt=-\lfloor x\rfloor(1+\ln x)+\ln(\lfloor x\rfloor !)+x\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor} \frac{1}{k},\,\,\,\,\,\,\,(x\ge 1)}$$
Chẳng hạn như
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 21-07-2022 - 04:39
- nhungvienkimcuong và DOTOANNANG thích
#3
Đã gửi 21-07-2022 - 08:35
Chứng minh rằng:
$$\boxed{\int_1^x \bigg(-\frac{\lfloor t\rfloor}{t}+\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}\frac{1}{k}\bigg)dt=-\lfloor x\rfloor(1+\ln x)+\ln(\lfloor x\rfloor !)+x\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor} \frac{1}{k},\,\,\,\,\,\,\,(x\ge 1)}$$
Kí hiệu tích phân vế trái là $I$ và chuỗi điều hòa $H(n):=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}$. Biến đổi
\begin{align*}I&=\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}\int_{m}^{m+1}\left ( \frac{-\left \lfloor t \right \rfloor}{t}+H( \left \lfloor t \right \rfloor) \right )\mathrm{d}t+\int_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}\left ( \frac{-\left \lfloor t \right \rfloor}{t}+H( \left \lfloor t \right \rfloor) \right )\mathrm{d}t \\ &=\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}\underbrace{\int_{m}^{m+1}\left ( \frac{-m}{t}+H( m) \right )\mathrm{d}t}_{A(m)}+\underbrace{\int_{\left \lfloor x \right \rfloor}^{x}\left ( \frac{-\left \lfloor x \right \rfloor}{t}+H( \left \lfloor x \right \rfloor) \right )\mathrm{d}t}_{B}.\qquad (\blacklozenge)\end{align*}
Dễ dàng tính được
\begin{align*}A(m)=m(\ln m-\ln(m+1))+H(m)\qquad \text{và}\qquad B=-\left \lfloor x \right \rfloor(\ln x-\ln \left \lfloor x \right \rfloor)+(x-\left \lfloor x \right \rfloor)H(\left \lfloor x \right \rfloor).\end{align*}
Thay vào $(\blacklozenge)$ và rút gọn thu được
Phần chưa liên quan đến biểu thức cần chứng minh là tổng của các chuỗi điều hòa, dễ thấy
$$\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}H(m)=\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}\frac{\left \lfloor x \right \rfloor-m}{m}=\left \lfloor x \right \rfloor H(\left \lfloor x \right \rfloor-1)-\left \lfloor x \right \rfloor+1.$$
Thay vào trên thu được điều cần chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 21-07-2022 - 08:42
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 1 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#4
Đã gửi 21-07-2022 - 09:01
Tuyệt vời quá em! Giải quyết nốt bài toán gốc thôi nào!…
Phần chưa liên quan đến biểu thức cần chứng minh là tổng của các chuỗi điều hòa, dễ thấy
$$\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}H(m)=\sum_{m=1}^{\left \lfloor x \right \rfloor-1}\frac{\left \lfloor x \right \rfloor-m}{m}=\left \lfloor x \right \rfloor H(\left \lfloor x \right \rfloor-1)-\left \lfloor x \right \rfloor+1.$$
Thay vào trên thu được điều cần chứng minh.
#5
Đã gửi 21-07-2022 - 21:31
$f(x):[1,\infty)\rightarrow \mathbb R;\,\,F(x):[1,\infty)\rightarrow \mathbb R$
$\frac{\text{d}F(x)}{\text{d}x}=f(x)$
thì ta có:
$$\boxed{\,\,\,\,\int_1^x \Big(\lfloor t\rfloor f(t)-\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}f(k)\Big)dt=\lfloor x\rfloor F(x)-x\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}f(k)+ \sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\Big(k f(k)-F(k)\Big) \,\,\,\,} $$
Hay
$$\boxed{\,\,\,\,\int_1^x \sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}\Big(f(t)-f(k)\Big)dt=\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\Big(F(x)-xf(k)\Big)+ \sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\Big(k f(k)-F(k)\Big) \,\,\,\,} $$
Hay
$$\boxed{\,\,\,\,\int_1^x \sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}\Big(f(t)-f(k)\Big)dt=\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\Big(F(x)-F(k)-(x-k)f(k)\Big) \,\,\,\,} $$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-07-2022 - 03:28
- nhungvienkimcuong yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh