Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $pq(n+1) = (p+q)(n^2+1)$ với $n$ là số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-12-2022 - 04:36
Tiêu đề + LaTeX
Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $pq(n+1) = (p+q)(n^2+1)$ với $n$ là số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-12-2022 - 04:36
Tiêu đề + LaTeX
Dễ chứng minh được $d=GCD(n^{2}+1,n+1)\epsilon \begin{Bmatrix} 1,2 \end{Bmatrix}$ . Nếu d=1 thì $pq(n+1)=(p+q)(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1 \rightarrow pq\vdots n^{2}+1 \rightarrow n^{2}+1 \epsilon U(pq)=\begin{Bmatrix} 1,p,q,pq \end{Bmatrix}$ . Bạn tự chứng minh t/h $n^{2}+1=1$ . Với $n^{2}+1=p\rightarrow q(n+1)=(p+q)\vdots q \rightarrow p\vdots q \rightarrow p=q \rightarrow \left\{\begin{matrix}n+1=2\rightarrow n=1 \\ 1+1=p\rightarrow p=q=2 \end{matrix}\right.$ Tương tự với t/h q. Nếu $n^{2}+1=pq\rightarrow n+1=p+q \rightarrow (p+q-1)^{2}+1=p+q,$ đến đây bạn tự giải phương trình ước số. Nếu d=2 thì $\left\{\begin{matrix} n^{2}+1=2a \\ n+1=2b \end{matrix}\right.; a,b\epsilon N^{*}, GCD(a,b)=1 \rightarrow pqa=(p+q)b$ đến đây thì giải như trên.
Đọc lời giải của Nguyen Bao Khanh mình thấy trong cả hai trường hợp giá trị của $d$ thì ta đều có $p=q$, hơn nữa, cách chứng minh cả hai trường hợp bị lặp lại. Điều này khiến mình đặt câu hỏi, liệu có thể chứng minh $p=q$ trước được không? Từ đó có lời giải sau.
Lời giải. Trước hết, xét trường hợp $p \neq q.$ Khi đó do $p$ và $q$ đều là số nguyên tố nên $(p,q)=1.$
Ta viết lại phương trình ban đầu theo hai cách.
Cách thứ nhất
$p(n^2-qn-q+1)+q(n^2+1)=0.$
Cách thứ hai
$q(n^2-pn-p+1)+p(n^2+1)=0.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-04-2023 - 20:26
ok, giải bài cho vui hen, do supermember cũng không ngồi máy lâu được nên mỗi ngày làm $1$ tí nhé.
Ta xét $2$ trường hợp:
Trường Hợp $1$: $ p=q$ thì khi đó, đẳng thức đã cho tương đương với:
$ \frac{p}{2} = \frac{ n^2+1}{n+1}$
Tương đương với: $ 2n^2 -pn + (2-p) = 0$ $(*)$
Để phương trình $(*)$ có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là phải có biệt số $ \triangle$ là số chính phương. Tức là: $ \triangle = p^2 - 8(2-p) = p^2 + 8p-16$ là số chính phương.
Nhưng mà dễ thấy là $ p^2 \leq p^2 + 8p-16 < (p+4)^2$ nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp :
$ p^2 + 8p-16 \in \{ p^2 ; \ (p+1)^2; \ (p+2)^2; \ (p+3)^2 \}$
Sử dụng tính chẵn lẻ để so sánh thì ta dễ thấy ngay $p^2 + 8p-16$ không thể nhận các giá trị $(p+1)^2$ hay $(p+3)^2$
Chẳng hạn, nếu $p^2 + 8p-16 = (p+1)^2$ thì $ 8p-16 = 2p+1$, vô lý, vì $2$ vế trái, phải sẽ khác tính chẵn lẻ.
nên chỉ có thể xảy ra $2$ khả năng:
Khả năng $1$: Nếu $ p^2 +8p-16 = p^2$ thì $ p=q=2$. Khi thử lại, ta tính trực tiếp được $2$ giá trị $n$ tương ứng là $ 0; \ 1$ đều là những số tự nhiên. Tức là bộ $2$ số nguyên tố $(p;q)$: $(2; \ 2)$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Khả năng $2$: Nếu $ p^2 +8p-16 = (p+2)^2$ thì $ p=q=5$. Khi thử lại, ta tính trực tiếp được chỉ có $1$ giá trị số tự nhiên $n$ tương ứng là $ 3$. Tức là bộ $2$ số nguyên tố $(p;q)$: $(5; \ 5)$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Trường Hợp $2$: $ p \neq q$ thì khi đó, rõ ràng:
$ \gcd( pq; \ p+q) =1$ , suy ra : phân số $ \frac{pq}{p+q}$ tối giản $(1)$
$ \gcd( n^2+1;\ n+1) = \gcd( (n-1)(n+1) +2; \ n+1) = \gcd( 2; \ n+1) \in \{ 1; 2 \} $
Khả năng $1$: Nếu $ \gcd( n^2+1;\ n+1) = 1$ thì rõ ràng phân số: $ \frac{n^2 +1}{n+1}$ là phân số tối giản $(2)$
Từ $(1) ; \ (2)$, suy ra: $\left\{\begin{matrix} pq= n^2 +1 & \\ p+q = n+1 \end{matrix}\right. (**)$
Nhưng hệ $(**)$ này vô nghiệm, chứng minh đơn giản bằng phản chứng.
Thật vậy, giả sử tồn tại $(p; \ q; \ n)$ thỏa mãn hệ $(**)$ thì do $ (q+p)^2 \geq 4pq \implies (n+1)^2 \geq 4(n^2+1) \implies 2(n^2+1) + (n-1)^2 \leq 0$ , Vô lý !
Khả năng $2$: Nếu $ \gcd( n^2+1;\ n+1) = 2$ thì rõ ràng phân số: $ \frac{ \frac{n^2 +1}{2}}{\frac{n+1}{2}}$ là phân số tối giản $(3)$
Từ $(3) ; \ (1)$, suy ra: $\left\{\begin{matrix} pq= \frac{n^2 +1}{2} & \\ p+q = \frac{n+1}{2} \end{matrix}\right. (***)$
Nhưng hệ $(***)$ này cũng vô nghiệm, chứng minh đơn giản bằng phản chứng y như trên:
Thật vậy, giả sử tồn tại $(p; \ q; \ n)$ thỏa mãn hệ $(***)$ thì do $ (q+p)^2 \geq 4pq \implies \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \geq 4\cdot \frac{n^2+1}{2} \implies (n+1)^2 \geq 8(n^2+1) \implies 6(n^2+1) + (n-1)^2 \leq 0$ , Vô lý !
Tức là không thể xảy trường hợp $ p \neq q$
Như vậy, sau khi xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra, ta kết luận chỉ có bộ $2$ số nguyên tố $(p;q)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là: $(2; \ 2); \ (5; \ 5)$
Bài Toán Theo Đó Được Giải Quyết Hoàn Toàn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-05-2023 - 22:50
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(p^{2}+1)(q^{2}+1)=r^{2}+1$Bắt đầu bởi katcong, 14-09-2023 so hoc, so nguyen to, toan thcs |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$p= b^{c}+a;q= c^{a}+b;r= a^{b}+c$Bắt đầu bởi Min Nq, 13-08-2015 so nguyen to |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
cho $M =1!.2!.3!.4!.5!.6!.7!.8!.9!$ tìm số các ước chính phương của $M$Bắt đầu bởi huybyeutoan1, 21-11-2014 so chinh phuong, so nguyen to |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh