4 replies to this topic

[Le Tuan Canhh]

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố A="Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác".

[chanhquocnghiem]

 

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố A="Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác".

 

Gọi số trên $3$ thẻ là $a,b,c$ ($a> b> c$)

$\mathbf{TH1}$ : $a=100$

+ Nếu $b=99$ : Có $97$ cách chọn $c$ ($c$ từ $2$ đến $98$)

+ Nếu $b=98$ : Có $95$ cách chọn $c$ ($c$ từ $3$ đến $97$)

+ Nếu $b=97$ : Có $93$ cách chọn $c$ ($c$ từ $4$ đến $96$)

............................................

............................................

+ Nếu $b=51$ : Có $1$ cách chọn $c$ ($c=50$)

$\Rightarrow$ TH 1 có $1+3+5+...+97=49^2$ cách.

$\mathbf{TH2}$ : $a=99$

+ Nếu $b=98$ : Có $96$ cách chọn $c$ ($c$ từ $2$ đến $97$)

+ Nếu $b=97$ : Có $94$ cách chọn $c$ ($c$ từ $3$ đến $96$)

+ Nếu $b=96$ : Có $92$ cách chọn $c$ ($c$ từ $4$ đến $95$)

............................................

............................................

+ Nếu $b=51$ : Có $2$ cách chọn $c$ ($c=49$ hoặc $c=50$)

$\Rightarrow$ TH 2 có $2+4+6+...+96=48.49$ cách.

...........................................................

...........................................................

$\mathbf{TH96}$ : $a=5\rightarrow$ có $1.2$ cách.

$\mathbf{TH97}$ : $a=4\rightarrow$ có $1^2$ cách.

Vậy $n(A)=(1^2+2^2+3^2+...+49^2)+(1.2+2.3+3.4+...+48.49)=\frac{49.50.99}{6}+\frac{48.49.50}{3}=79625$

Xác suất cần tính là $\frac{79625}{C_{100}^3}=\frac{65}{132}$.
 

Edited by chanhquocnghiem, 10-03-2023 - 09:32.

[hxthanh]

Thành quả sau khi lần mò cả buổi
Nếu thay số $100$ bằng $n$ thì số tam giác tạo được từ các thẻ đánh số $\{1,2,…,n\} $ “có thể” là:
\begin{equation}\label{eq1} S_n= \left\lfloor \dfrac{n(n-2)(2n-5)}{24}\right\rfloor \end{equation}
Bạn nào chứng minh \eqref{eq1} giúp với!

Edited by hxthanh, 26-03-2023 - 16:55.

[chanhquocnghiem]

Thành quả sau khi lần mò cả buổi
Nếu thay số $100$ bằng $n$ thì số tam giác tạo được từ các thẻ đánh số $\{1,2,…,n\} $ “có thể” là:
\begin{equation*} S_n= \left\lfloor \dfrac{n(n-2)(2n-5)}{24}\right\rfloor \end{equation*}
Bạn nào chứng minh \eqref{eq1} giúp với!

Với $n=3$, ta có $S_3=\left \lfloor \frac{3.1.1}{24} \right \rfloor=0$ (đúng)
Giả sử \eqref{eq1} đúng với $n=k\geqslant 3$, tức là ta có $S_k=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor$
$\Rightarrow S_{k+1}=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k-1}{2} \right \rfloor\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{6(k-1)^2}{24} \right \rfloor$
Nhận xét rằng nếu $k$ chẵn thì $k(k-2)(2k-5)$ chia $24$ dư $0$ và $6(k-1)^2$ chia $24$ dư $6$.
còn nếu $k$ lẻ thì $k(k-2)(2k-5)$ chia $24$ dư $3$ và $6(k-1)^2$ chia $24$ dư $0$.
$\Rightarrow k(k-2)(2k-5)+6(k-1)^2$ chia $24$ dư $3$ hoặc dư $6$
$\Rightarrow S_{k+1}=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)+6(k-1)^2-3}{24} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{(k+1)(k-1)(2k-3)}{24} \right \rfloor$
Vậy \eqref{eq1} cũng đúng khi $n=k+1$
Theo nguyên lý quy nạp, \eqref{eq1} đúng với mọi $n\geqslant 3$.
——
Góp ý với bạn @chanhquocnghiem
Khi bạn tham chiếu đến phương trình thì dùng

\eqref{tên nhãn}

tên nhãn được đặt trong

\label{tên nhãn}

ở chính phương trình đó khi quote bạn sẽ thấy. Ngoài ra có thể tham chiếu đến các nhãn trong môi trường align bằng

\ref{tên nhãn}

hay môi trường định lý bằng

\thref{tên nhãn}

Edited by hxthanh, 27-03-2023 - 18:58.
Tham chiếu!

[hxthanh]

Tuyệt vời ông mặt trời! @chanhquocnghiem
Nói thêm về cái vụ $S_n=S_{n-1}+\left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor$
Gọi các cạnh tạo thành tam giác là $a,b,c$ với $a<b<c$. Khi đó ngoài các tam giác của $S_{n-1}$ còn có các tam giác cạnh $c=n$
Suy ra: $a+b\ge n+1 \Rightarrow n+1-b\le a\le b-1$
$\Rightarrow n+1-b\le b-1\Rightarrow \left\lfloor\frac{n+2}{2}\right\rfloor\le b\le n-1$
Do đó phần “còn thiếu” là:
$\sum_{b= \left\lfloor\frac{n+2}{2}\right\rfloor}^{n-1}(2b-1-n)=\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \left(2b+2 \left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor -1-n\right)$
$=\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \left(2b+ \left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor -1-\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \right)$
$= \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left(\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \right)$
$= \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor $
Từ đây ta suy được:
$S_n=\sum_{k=1}^{n-2} \left\lfloor\frac{k^2}{4}\right\rfloor $
Từ đây sau “một vài” phép thử ta tìm được \eqref{eq1}