Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Em nghĩ đây là các cách dựng hình cơ bản thôi ạ. Chẳng hạn để dựng đường tròn đường kính $OB$ thì dựng hai đường tròn có tâm tương ứng tại $O$ và $B$, và có cùng bán kính, sao cho chúng giao nhau. Khi đó đường thẳng đi qua hai giao điểm của đường tròn là đường trung trực của $OB$ nên ta dựng được trung điểm của $OB$. Cho nên em cảm thấy thực ra cũng không quá cần thiết phải đưa vào bài viết.
Trước khi vào đọc bài viết thì anh cũng nghĩ là người đọc được giả sử là biết những kiến thức như vậy rồi, nhưng khi đọc thì thấy tác giả giới thiệu thêm rất nhiều kiến thức rất cơ bản (như dựng hình là gì, hệ toạ độ Đề-cát, v.v...) nên anh mới cho là tác giả đã bỏ sót như câu mà anh hỏi. Nhưng xem nhanh qua lại thì có vẻ là lúc nãy anh đọc hơi vội, vì trong bài đã có nhắc đến như sau:
Tuy vậy, mình tin là bạn đọc nào đã học qua toán ở bậc trung học cơ sở đều đã được học qua những phép dựng hình sau, hoặc biết tới những định lý gắn với các phép dựng này:
Cho trước một đoạn thẳng, dựng đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Cho trước một góc, dựng đường phân giác trong của góc đó.
Cho trước một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng. Qua điểm đó, hãy dựng đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước.
Dựng tam giác đều (ở đây, đối tượng cho trước có thể là một đường tròn, hay là hai điểm phân biệt, ...)
Cho trước một tam giác, dựng đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Cho trước một tam giác, dựng các đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó.
Vậy chỉ cần tác giả thêm câu "Bài viết này sẽ sử dụng những phép dựng hình như vậy mà không cần giải thích chi tiết", đại loại như vậy thì anh nghĩ là sẽ ổn.
Thực ra em cũng có chút băn khoăn như anh Khuê nói: nếu $b$ không phải số dựng được, thì điểm $B$ từ đâu mà có ?
Đoạn này thì tác giả ghi thiếu giả thiết $b$ dựng được (và khác $0$) thôi Hân ạ.
Thắc mắc trên của anh @perfectstrong là hợp lý và em đã cập nhật phát biểu. Đúng là khi có sẵn $a$ và $b$ thì dựng được $a+b$. Nhưng nếu ít nhất một trong hai số $a$ và $b$ không phải số dựng được thì không thể chắc chắn $a+b$ là số dựng được. Vậy nên em bổ sung giả thiết $a$ và $b$ là các số dựng được.
Trong ngày hôm nay em cập nhật đều đặn góp ý của mọi người và sửa những gì em thấy là hợp lý nên anh @Nesbit mới thấy lúc đọc là thế này nhưng một lúc sau lại khác.
Thắc mắc trên của anh @perfectstrong là hợp lý và em đã cập nhật phát biểu. Đúng là khi có sẵn $a$ và $b$ thì dựng được $a+b$. Nhưng nếu ít nhất một trong hai số $a$ và $b$ không phải số dựng được thì không thể chắc chắn $a+b$ là số dựng được. Vậy nên em bổ sung giả thiết $a$ và $b$ là các số dựng được.
Đúng là theo định nghĩa số dựng được ở trong bài thì cần như vậy. Mình dựng được nó không có nghĩa nó là số "dựng được", phức tạp quá nhỉ
Trong ngày hôm nay em cập nhật đều đặn góp ý của mọi người và sửa những gì em thấy là hợp lý nên anh @Nesbit mới thấy lúc đọc là thế này nhưng một lúc sau lại khác.
Ô vậy thì ra lúc nãy không phải do mình đọc vội quá à. Thực ra theo mình nên bỏ bớt thì tốt hơn chứ không nên thêm vào vì bài viết hiện tại cũng đã có khá nhiều thông tin, trong đó nhiều thứ cơ bản quá.
Định nghĩa 1. Một điểm gọi là dựng được (trong mặt phẳng toạ độ Oxy) nếu từ hai điểm $(0;0)$ và $(1;0)$ bằng thước thẳng và compa ta dựng được điểm đó. Hai điểm cơ sở $(0;0)$ và $(1;0)$ được coi là dựng được.
Từ đây ta xây dựng nên mệnh đề đầu tiên giúp ta mở rộng tập hợp các điểm dựng được từ hai điểm dựng được ban đầu.
Mệnh đề 1. Nếu từ một tập hợp các điểm dựng được, bằng thước thẳng và compa ta dựng được điểm $A$ thì $A$ là một điểm dựng được.
Tiếp theo ta có ngay 6 mệnh đề làm trụ cột giúp ta chuyển dịch từ phép dựng hình phẳng thông thường qua phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ.
Mệnh đê 2. Nếu $A, B$ là dựng được thì trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là dựng được.
Mệnh đề 3. Nếu $A, B$ là dựng được thì điểm đối xứng với $A$ qua $B$ là dựng được.
Mệnh đề 4. Nếu $ABCD$ là một hình bình hành mà $A, B, C$ là ba điểm dựng được thì $D$ là điểm dựng được.
Mệnh đề 5. Nếu $ABCD$ là một hình vuông mà $A, C$ là hai điểm dựng được thì $B, D$ là hai điểm dựng được.
Mệnh đề 6. $A$ là điểm dựng được khi và chỉ khi hình chiếu của $A$ trên hai trục toạ độ là các điểm dựng được.
Gọi $A(a;b)$ và xét trường hợp $a, b>0$, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Trước hết ta thấy $A$ có hình chiếu trên Ox là điểm $(a;0)$, hình chiếu trên Oy là điểm $(0;b)$.
Điều kiện cần. Ta dựng đường tròn có tâm là trung điểm của $OA$ và đi qua $A$. Tiếp theo, dựng đường thẳng đi qua $O$ và điểm $(0;1)$. Đường thẳng và đường tròn vừa dựng cắt nhau tại điểm $(a;0)$. Tương tự ta dựng được điểm $(0;b)$. Chứng tỏ $(a;0)$ và $(0;b)$ là các điểm dựng được hay hình chiếu của $A$ trên hai trục toạ độ là dựng được.
Điều kiện đủ. Giả sử $(a;0)$ và $(0;b)$ là dựng được khi đó ba điểm $(0;0), (a;0), (0;b)$ và $(a;b)$ tạo thành hình bình hành. Do đó $A$ là điểm dựng được.
Mệnh đề 7. Điểm $(a;b)$ là điểm dựng được khi và chỉ khi điểm $(b;a)$ là điểm dựng được.
Nếu $(a;b)$ là dựng được thì $(a;0)$ và $(0;b)$ là dựng được. Dựng đường thẳng đi qua hai điểm$O$ và $(0;1)$. Dựng đường tròn tâm $O$ đi qua $(a;0)$. Đường thẳng và đường tròn vừa dựng cắt nhau tại $(0;a)$. Tương tự ta dựng được điểm $(b;0)$. Vì $(0;a)$ và $(b;0)$ dựng được nên $(b;a)$ dựng được. Chiều đảo ta làm tương tự.
Dựa vào bốn mệnh đề 2, 3, 4, 5 ở trên ta khẳng định được ngay tính chất dựng được các điểm lưới $(m,n)$ với $m, n$ là các số nguyên.
Mệnh đề 8. Điểm $(m;n)$ với $m, n$ là các số nguyên là một điểm dựng được.
Chứng minh tuần tự qua các bước như sau.
* Điểm $(-1;0)$ là dựng được.
Thật vậy, điểm $(-1;0)$ là điểm đối xứng với điểm $(1;0)$ nên dựng được.
* Điểm $(m;0)$ với $m$ là số nguyên là dựng được.
Thật vậy, xét trường hợp $m>0$. $(2;0)$ đối xứng với $O$ qua $(1;0)$ nên dựng được. Điểm $(3;0)$ đối xứng với $(1;0)$ qua $(2;0)$ nên dựng được. Cứ thế cuối cùng ta có $(m;0)$ là dựng được.
Với trường hợp $m<0$ ta làm theo chiều ngược lại.
* Điểm $(0;1)$ và điểm $(0;-1)$ là dựng được.
Bốn điểm $(1;0)$, $(0;-1)$, $(-1;0)$ và $(0;1)$ theo thứ tự là bốn đỉnh của một hình vuông. Mà $(1;0)$ và $(-1;0)$ là dựng được nên $(0;1)$ và $(0;-1)$ là dựng được.
* Điểm $(0;n)$ với $n$ là số nguyên là dựng được.
Chứng minh tương tự Mệnh đề 2.
* Điểm $(m;n)$ với $m, n$ là số nguyên là dựng được.
Do $(m;0)$ và $(0;n)$ dựng được nên $(m;n)$ dựng được.
Mệnh đề 9. Điểm $(p, q)$ với $p, q$ là các số hữu tỉ là một điểm dựng được.
Trước hết ta chỉ ra điểm $(p,0)$ là dựng được. Thật vậy xét $p>0$, và đặt $p=\frac{m}{n}$ với $m, n$ là các số nguyên dương và $n>1$. Xét ba điểm dựng được là $A(m,0)$, $B(0;n)$ và $C(1;0)$. Ta lấy điểm $D(m;-(n-1))$. Dễ thấy $BC=AD$ và $BC\parallel AD$ nên $ABCD$ là hình bình hành, dẫn tới $D$ là điểm dựng được. Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua $B, D$, đường thẳng này cắt đường thẳng đi qua $O, A$ tại $E$. Theo Định lý Thales ta có $\frac{OE}{OA}=\frac{OD}{OB}$. Chú ý rằng $OA=m, OB=n$, và $OD=1$, suy ra $OE=\frac{m}{n}$ nói cách khác điểm $\left(\frac{m}{n};0\right)$ chính là điểm $E$. Vậy điểm $(p;0)$ là dựng được.
Trường hợp $p<0$ ta chứng minh tương tự như trên. Và bằng phương pháp như thế ta cũng thu được $(0;q)$ là điểm dựng được.
Vì $(p;0)$, $(0;q)$ dựng được nên $(p;q)$ là điểm dựng được.
----
Phần tiếp theo là về số dựng được.
Định nghĩa 2.Một số thực $a$ gọi là số dựng được nếu $(a;0)$ là điểm dựng được.
Lưu ý rằng theo Mệnh đề 7, $(a;0)$ dựng được khi và chỉ khi $(0;a)$ dựng được nên định nghĩa trên vẫn đúng nếu thay $(a;0)$ bởi $(0;a)$.
Tiếp theo là mệnh đề giúp ta đồng nhất hai khái niệm điểm dựng được và số dựng được.
Mệnh đề 10. $(a;b)$ là một điểm dựng được khi và chỉ khi $a$ và $b$ là các số dựng được.
Theo Mệnh đề 6, $(a;b)$ dựng được khi và chỉ khi $(a;0)$ và $(0;b)$ dựng được. Điều này có nghĩa $(a;b)$ dựng được khi và chỉ khi $a,b$ là các số dựng được.
Tiếp theo là kết quả hiển nhiên có được ngay từ chứng minh ở phần trên.
Mệnh đề 11. Mọi số hữu tỉ $p$ là số dựng được.
Cuối cùng, chính là mệnh đề mà manguish đã làm đó là chỉ ra:
Mệnh đề 12. Nếu $a,b$ là hai số dựng được thì $a+b, a-b, a.b,\frac{a}{b}$ (nếu $b\neq 0$) và $\sqrt{ab}$ là các số dựng được.
---
Không biết mình đã hiểu đúng chưa?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-07-2023 - 23:51
Đoạn này thì tác giả ghi thiếu giả thiết $b$ dựng được (và khác $0$) thôi Hân ạ.
Nếu lấy com-pa để "đo" độ dài giữa hai điểm rồi dựng một đoạn mới có cùng độ dài, thì "phép dựng hình" này không hề phụ thuộc vào việc $b$ có "dựng được" hay không. Hay chúng ta phải hiểu "dựng được" theo nghĩa vật lý/thực tế?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Anh @HaiDangPham, ngay ở đầu bài viết, em đã quy ước dựng hình là dựng hình bằng thước và compass. Trong trả lời này em bổ sung thêm, dựng là dựng hình.
Em thấy định nghĩa cho điểm dựng được straightforward đến nỗi em không nêu định nghĩa (vì cái tên đã nói lên điều cần nói). Tuy nhiên em đã bổ sung.
Trong chứng minh $a+b$ dựng được từ $a$ và $b$, em đưa ra thêm vài cách diễn giải hơi quá khi mà có vector. Cốt là em muốn chứng minh phép dựng là đúng (dựng điểm $C$ bằng cách lấy đối xứng điểm $O$ qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$). Phép dựng ở đây là cơ bản nên em không nói dựng như thế nào nữa.
Qua phần mà anh nêu cách hiểu, em khẳng định anh đã hiểu đúng. Nhưng phần anh diễn giải em đã quyết định không thêm vào bài viết.
Bài viết này cover ngay cả những thứ được coi là cơ bản vì em cho rằng như vậy thì có không khí lịch sử, nhưng em sẽ không ôm hết hay giải thích hết bài viết, và tập trung hướng tới các kết quả chính.
Dựng trung trực một đoạn thẳng hoàn toàn dựng được với compass và thước. 1 là một đơn vị đoạn thẳng nên 3/2 hoàn toàn dựng được
Dựng điểm đối xứng qua một đường thẳng cũng không khó với compass
Dựng điểm có toạ độ nguyên cũng dùng compass căn độ dài đơn vị trên trục toạ độ.
Do đó mình nghĩ mấy điều này không nên phức tạp hoá vấn đề
Qua phần mà anh nêu cách hiểu, em khẳng định anh đã hiểu đúng. Nhưng phần anh diễn giải em đã quyết định không thêm vào bài viết.
@manguish Ồ không, ở trên anh chỉ diễn đạt cái anh hiểu thôi. Anh cũng nghĩ không nên đưa thêm nó vào bài viết của em làm gì, quá thừa, nó làm mất sự tập trung vào nội dung cốt lõi liên quan tới chứng minh của Landau. Ở đây, chỉ là do anh không bắt nhịp được với ý tưởng chuyển đổi từ phép dựng hình thông thường sang phép dựng hình trong môi trường toạ độ. Anh cứ nghĩ khi chuyển sang môi trường toạ độ thì mình không dùng thước và compa nữa, mà chuyển đổi sang một phép tạo hình nào đó khác chỉ còn phụ thuộc vào các con số. Chính vì thế ý niệm "dựng được" khiến anh bối rối, rồi từ đó mới đặt thêm những câu hỏi và yêu cầu làm phức tạp vấn đề. Sau khi đọc kỹ hơn các chi tiết bổ sung của em thì anh mới hiểu là hoá ra cái gọi là dựng hình trong mặt phẳng toạ độ thực chất vẫn chỉ là dựng hình với thước và compa nhưng xử lý cho các điểm có toạ độ mà thôi.
Nói thêm, anh thích cách trình bày theo lối diễn giải cả cách thức tư duy cùng kinh nghiệm nghiên cứu của em. Nó thực sự gần gũi. Quá trình nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu quan trọng như nhau. Cảm ơn bài viết công phu của em!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-07-2023 - 00:53
Một chủ đề tác giả đã biên soạn khá công phu mà xem ra các “sếp” tỏ ra khắt khe thế này thì còn ai “dám” đóng góp gì cho diễn đàn đây?
Những bài viết như thế này chất lượng hơn rất rất nhiều so với những “nghiên cứu” kiểu: “Chứng minh sơ cấp cho định lý…” rất chi là ảo tưởng!
——
P/s Ngoài một thành viên chữ đen tham gia bình luận thì toàn các “sếp” chữ màu vào chém cho tơi bời hoa lá, mình mà là tác giả thì chắc chắn sẽ buông phím quy hàng!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 09-07-2023 - 23:53
Một chủ đề tác giả đã biên soạn khá công phu mà xem ra các “sếp” tỏ ra khắt khe thế này thì còn ai “dám” đóng góp gì cho diễn đàn đây?
Những bài viết như thế này chất lượng hơn rất rất nhiều so với những “nghiên cứu” kiểu: “Chứng minh sơ cấp cho định lý…” rất chi là ảo tưởng!
——
P/s Ngoài một thành viên chữ đen tham gia bình luận thì toàn các “sếp” chữ màu vào chém cho tơi bời hoa lá, mình mà là tác giả thì chắc chắn sẽ buông phím quy hàng!
Thầy Thanh cứ quá lo Em cũng thấy ai cũng xúm vào góp ý xây dựng chứ đâu có chê bai dè biểu
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Nếu lấy com-pa để "đo" độ dài giữa hai điểm rồi dựng một đoạn mới có cùng độ dài, thì "phép dựng hình" này không hề phụ thuộc vào việc $b$ có "dựng được" hay không. Hay chúng ta phải hiểu "dựng được" theo nghĩa vật lý/thực tế?
Đúng là nếu cho trước một điểm $P$ và một đoạn thẳng $AB$ thì ta được phép dựng đường tròn tâm $P$ bán kính $AB$. Có điều là dựng ra cái đoạn $AB$ đó thế nào vì ngoài một đoạn thẳng độ dài đơn vị ta không được cho trước thứ gì cả.
Đúng là nếu cho trước một điểm $P$ và một đoạn thẳng $AB$ thì ta được phép dựng đường tròn tâm $P$ bán kính $AB$. Có điều là dựng ra cái đoạn $AB$ đó thế nào vì ngoài một đoạn thẳng độ dài đơn vị ta không được cho trước thứ gì cả.
Bạn nói trúng vấn đề tiếp theo mà mình muốn nói đấy
Do dính tới kiến thức toán cao cấp nên mình không chắc có thể diễn đạt chặt chẽ, nhưng ý mình như sau:
Tập hợp các số dựng được là một tập vô hạn đếm được, nên trên trục số thực, độ đo Lebesgue bằng 0. Nói cách khác, khi chọn ngẫu nhiên một điểm trên trục số thực, xác suất số đó là số dựng được là bằng 0.
Vậy nên, nếu chọn hai điểm $A,B$ ngẫu nhiên thì gần như chắc chắn hai điểm đó không phải số dựng được.
Tuy nhiên, ta vẫn "chọn" được hai điểm đó đấy thôi Chỉ có điều, nếu xóa hết mặt phẳng rồi bảo dựng lại hai điểm đó thì không thể
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
Nếu lấy com-pa để "đo" độ dài giữa hai điểm rồi dựng một đoạn mới có cùng độ dài, thì "phép dựng hình" này không hề phụ thuộc vào việc $b$ có "dựng được" hay không. Hay chúng ta phải hiểu "dựng được" theo nghĩa vật lý/thực tế?
Đúng là nếu cho trước một điểm $P$ và một đoạn thẳng $AB$ thì ta được phép dựng đường tròn tâm $P$ bán kính $AB$. Có điều là dựng ra cái đoạn $AB$ đó thế nào vì ngoài một đoạn thẳng độ dài đơn vị ta không được cho trước thứ gì cả.
Bạn nói trúng vấn đề tiếp theo mà mình muốn nói đấy
Do dính tới kiến thức toán cao cấp nên mình không chắc có thể diễn đạt chặt chẽ, nhưng ý mình như sau:
Tập hợp các số dựng được là một tập vô hạn đếm được, nên trên trục số thực, độ đo Lebesgue bằng 0. Nói cách khác, khi chọn ngẫu nhiên một điểm trên trục số thực, xác suất số đó là số dựng được là bằng 0.
Vậy nên, nếu chọn hai điểm $A,B$ ngẫu nhiên thì gần như chắc chắn hai điểm đó không phải số dựng được.
Tuy nhiên, ta vẫn "chọn" được hai điểm đó đấy thôi Chỉ có điều, nếu xóa hết mặt phẳng rồi bảo dựng lại hai điểm đó thì không thể
@perfectstrong @ngtien1255 "Em đi xa quá, em đi hơi xa quá... ♫♫" Việc đề bài đã cho như vậy thì miễn đúng về mặt Toán học là được, không cần phải đào sâu thêm là trên thực tế có dựng được hay không. Ngay việc cái compa và cái thước có hộ khẩu và độ dài tuỳ ý đã là phi thực tế rồi.
Có vẻ như việc mọi người hiểu một cách rối rắm thế này xuất phát từ phát biểu dài dòng của cái bổ đề trong bài:
Bổ đề 1. Cho trước hai điểm $A$ có tọa độ $(a, 0)$ và điểm $B$ có tọa độ $(b, 0)$, trong đó $a$ và $b$ là các số dựng được. Khi đó các số $a + b$, $a - b$, $a\cdot b$, $a/b$ (nếu $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (nếu $ab\ge 0$) là các số dựng được.
Đúng ra thì phát biểu như sau sẽ tốt hơn:
Bổ đề
Nếu $a$ và $b$ dựng được thì những số sau cũng dựng được: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Lúc đọc bổ đề thì Nesbit cũng đã hiểu ngay như vậy, bởi vậy mới có góp ý là cần thêm giả thiết $a,b$ dựng được vào. Nếu không có giả thiết $a,b$ dựng được thì có thể phát biểu như sau (nhưng không tốt bằng phát biểu ngắn gọn ở trên):
Bổ đề
Cho trước hai điểm $A$ có tọa độ $(a, 0)$ và $B$ có tọa độ $(b, 0)$, khi đó ta có thể dựng được điểm $C$ với toạ độ $(c, 0)$ trong đó $c$ có thể lấy giá trị tuỳ ý trong các số sau: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Hai điểm $A$ và $B$ là giả thiết cho, không cần biết làm sao dựng được chúng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 10-07-2023 - 14:40
Giờ mới để ý là bản dịch tiếng Việt này nằm trên trang chính chủ của tác giả luôn. Người dịch là Lê Minh Hà, không biết có phải là thầy Lê Minh Hà phụ trách hình học phẳng cho tạp chí THTT và Toán Tuổi thơ không nhỉ.
Tác giả Milne có tâm thật, viết rất nhiều sách mà sách nào cũng để PDF miễn phí, có cả bản tối ưu dành cho điện thoại máy tính bảng nữa. Rất mong chờ đọc cuốn "2050 Arithmetic Duality Theorems, third edition, first draft" trong 27 năm nữa
@perfectstrong @ngtien1255 "Em đi xa quá, em đi hơi xa quá... ♫♫" Việc đề bài đã cho như vậy thì miễn đúng về mặt Toán học là được, không cần phải đào sâu thêm là trên thực tế có dựng được hay không. Ngay việc cái compa và cái thước có hộ khẩu và độ dài tuỳ ý đã là phi thực tế rồi.
Có vẻ như việc mọi người hiểu một cách rối rắm thế này xuất phát từ phát biểu dài dòng của cái bổ đề trong bài:
Đúng ra thì phát biểu như sau sẽ tốt hơn:
Bổ đề
Nếu $a$ và $b$ dựng được thì những số sau cũng dựng được: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Lúc đọc bổ đề thì Nesbit cũng đã hiểu ngay như vậy, bởi vậy mới có góp ý là cần thêm giả thiết $a,b$ dựng được vào. Nếu không có giả thiết $a,b$ dựng được thì có thể phát biểu như sau (nhưng không tốt bằng phát biểu ngắn gọn ở trên):
Bổ đề
Cho trước hai điểm $A$ có tọa độ $(a, 0)$ và $B$ có tọa độ $(b, 0)$, khi đó ta có thể dựng được điểm $C$ với toạ độ $(c, 0)$ trong đó $c$ có thể lấy giá trị tuỳ ý trong các số sau: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Hai điểm $A$ và $B$ là giả thiết cho, không cần biết làm sao dựng được chúng.
Em cũng hiểu như anh, chỉ là suy nghĩ thêm chút Em thấy bỏ đi giả thiết $a,b$ dựng được thì mệnh đề càng mạnh hơn chứ nhỉ?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! $$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$ I'm still there everywhere.
?
Đã gửi 09-07-2023 - 21:43
Em cũng thấy ai cũng xúm vào góp ý xây dựng chứ đâu có chê bai dè biểu 
group action, abstract algebra và .
