Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Chứng mình rằng nếu f,g là các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và f(x) = g(x) với mọi x là số hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với mọi x thuộc [a,b].

(Nếu ta thay hữu tỷ bởi vô tỷ thì bài toán còn đúng hay không?)

[bangbang1412]

Lấy $x \in [a,b]$, khi đó tồn tại một dãy số hữu tỷ $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_n \in [a,b]$ sao cho $\lim_{n \to \infty}x_n = x$. Ta có

$$f(x) = f(\lim x_n) = \lim f(x_n) = \lim g(x_n) = g(\lim x_n) = g(x).$$

Trường hợp số vô tỷ chứng minh tương tự với lưu ý rằng mỗi số $x \in [a,b]$ đều là giới hạn một dãy toàn số vô tỷ: thật vậy lấy $\epsilon$ đủ nhỏ và vô tỷ sao cho $x + \epsilon$ nằm trong $[a,b]$, khi đó $x + \epsilon = \lim x_n$ với mỗi $x_n \in \mathbb{Q} \cap [a,b]$, khi này $x  = \lim (x_n - \epsilon)$, khi $n$ ra đủ lớn thì $x_n - \epsilon \in [a,b]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 26-09-2023 - 22:48