a) Giả sử $\exists$ $\varphi (x)=2p$
Ta cần đi chứng minh $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$
Ta có : $a+b> 2$ và $a+b\mid a^{2n-1}+b^{2n-1}$
Xét $x=2^{k}.q \ [k\geq 2; (2;q)=1]$
$\varphi (x)=\varphi (2^{k}).\varphi \left ( q \right )=2^{k-1}.\varphi \left ( q \right )\vdots 4$ ( vô lí vì $2p\equiv 2 (\mod4)$
$\Rightarrow k\in \left \{ 0;1 \right \}$
Vì $\varphi (2q)=\varphi (q)$ nên ta chỉ cần xét $x=u$ (với $u$ lẻ )
Trường hợp 1 : $u=p_1.p_2...p_k$ với $p_1,p_2,..,p_k$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt
$\varphi (u)=\varphi (p_1).\varphi (p_2)...\varphi (p_k) \vdots 4$ ( vô lí )
Trường hợp 2 : $u=r^{t}$ với $t\geq 2$ và $r$ là số nguyên tố lẻ
$\varphi (u)=r^{t-1}(r-1)=2p$ $\Rightarrow r=3,p=3$ (vô lí vì $p> 3$)
$\Rightarrow u=q$ với $q$ là 1 số nguyên tố lẻ
Vậy $x=q$ hoặc $x=2q$ với $q$ là số nguyên tố lẻ.
$\Rightarrow \varphi (x)=\varphi (q)=\varphi (2q)=q-1=2p$
$\Rightarrow x=2p+1$ hoặc $x=2(2p+1)$
$(a+b)\mid (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ $\Rightarrow (a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$ hoặc $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$
Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$, kết hợp $a+b> 2$ $\Rightarrow a+b=q=2p+1$
Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$, kết hợp $a+b> 2 \Rightarrow a+b=q=2p+1$ hoặc $a+b=2q=2(2p+1)$
Ta có điều phải chứng minh
b) Với một số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}\mid a^{k}-b^{k}$ thì $k$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2n$ và nếu $a^{n}+b^{n}\mid a^{l}-b^{l}$ thì $2n\mid l$
Vì $(a;a^{n}+b^{n})=(b;a^{n}+b^{n})=1$ nên theo định lí $Euler$, ta có :
$a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$ và $b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$
$a^{n}+b^{n}\mid a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}-b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )} \Rightarrow 2n\mid \varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )$
$2(2n-1)\mid \varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$
$2^{k}.1.3.5...(2k-1)\mid \Rightarrow \prod_{i=1}^{k}u_i$
$\Rightarrow \frac{(2k)!}{(k)!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$