Chủ đề này có 2 trả lời

[Sangnguyen3]

Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau, $a> b> 1$, ta xét dãy số sau: 

$u_n=\varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ với $n=1,2,3,...$ 

1. Chứng minh rằng nếu $p> 3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

2. Chứng minh rằng $\frac{\left ( 2k \right )!}{k!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$

[nhungvienkimcuong]

Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau, $a> b> 1$, ta xét dãy số sau: 

$u_n=\varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ với $n=1,2,3,...$ 

1. Chứng minh rằng nếu $p> 3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

2. Chứng minh rằng $\frac{\left ( 2k \right )!}{k!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$

Sử dụng kết quả này là giải quyết được.

Ngoài ra ở ý đầu tiên thì chú ý rằng nếu $\varphi(x)=2p$ thì $x\in \{q^k,2q^k\}$ với $q$ là số nguyên tố và $k$ là số nguyên dương, từ đây lập luận được rằng $k=1$ và $q=2p+1$.

[Sangnguyen3]

a) Giả sử $\exists$ $\varphi (x)=2p$

Ta cần đi chứng minh $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

Ta có : $a+b> 2$ và $a+b\mid a^{2n-1}+b^{2n-1}$
Xét $x=2^{k}.q \ [k\geq 2; (2;q)=1]$

$\varphi (x)=\varphi (2^{k}).\varphi \left ( q \right )=2^{k-1}.\varphi \left ( q \right )\vdots 4$ ( vô lí vì $2p\equiv 2 (\mod4)$

$\Rightarrow k\in \left \{ 0;1 \right \}$

Vì $\varphi (2q)=\varphi (q)$ nên ta chỉ cần xét $x=u$ (với $u$ lẻ ) 

Trường hợp 1 : $u=p_1.p_2...p_k$ với $p_1,p_2,..,p_k$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt 
$\varphi (u)=\varphi (p_1).\varphi (p_2)...\varphi (p_k) \vdots 4$ ( vô lí )

Trường hợp 2 : $u=r^{t}$ với $t\geq 2$ và $r$ là số nguyên tố lẻ 

$\varphi (u)=r^{t-1}(r-1)=2p$ $\Rightarrow r=3,p=3$ (vô lí vì $p> 3$)

$\Rightarrow u=q$ với $q$ là 1 số nguyên tố lẻ 
Vậy $x=q$ hoặc $x=2q$ với $q$ là số nguyên tố lẻ.

$\Rightarrow \varphi (x)=\varphi (q)=\varphi (2q)=q-1=2p$ 

$\Rightarrow x=2p+1$ hoặc $x=2(2p+1)$

$(a+b)\mid (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ $\Rightarrow (a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$ hoặc $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$, kết hợp $a+b> 2$ $\Rightarrow a+b=q=2p+1$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$, kết hợp $a+b> 2 \Rightarrow a+b=q=2p+1$ hoặc $a+b=2q=2(2p+1)$

Ta có điều phải chứng minh 

b) Với một số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}\mid a^{k}-b^{k}$ thì $k$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2n$ và nếu $a^{n}+b^{n}\mid a^{l}-b^{l}$ thì $2n\mid l$

Vì $(a;a^{n}+b^{n})=(b;a^{n}+b^{n})=1$ nên theo định lí $Euler$, ta có : 
$a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$ và $b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$

$a^{n}+b^{n}\mid a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}-b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )} \Rightarrow 2n\mid \varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )$

$2(2n-1)\mid \varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$

$2^{k}.1.3.5...(2k-1)\mid \Rightarrow \prod_{i=1}^{k}u_i$

$\Rightarrow \frac{(2k)!}{(k)!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$