Chủ đề này có 64 trả lời

[nhancccp]

Đại số là mảng kiến thức quan trọng trong toán học phổ thông.Tiếp nối các topic của các cao nhân,tiền bối... mình lập topic này nhằm giúp các bạn và mình tự ôn luyện,nâng cao trình độ,rèn giải toán để đạt kết quả cao trong một số kỳ thi HSG...
Mong các bạn hưởng ứng tích cực để topic được sôi nổi và không rơi vào quên lãng.

Yêu cầu về bài viết trong topic:
- Viết bằng Tiếng Việt có dấu, viết hoa đầu dòng, tuyệt đối không dùng ngôn ngữ chat.

- Khi topic có đến 5 bài chưa được giải thì phải cố gắng post bài giải cho hết, rồi mới post bài tiếp, tránh tình trạng tràn lan, loãng topic.

- Chú ý: Bài viết đầy đủ thông tin. Phương pháp làm, Logic. Tránh tình trạng làm bài chỉ nêu hướng, không trình bày, làm bỏ dở.
Mở đầu bằng các bài về rút gọn các biểu thức số

Những công thức đáng nhớ khi giải các bài toán dạng này

$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ (1)

$\sqrt{a+\sqrt{b}}\pm\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2(a\pm\sqrt{a^2-b})}$ (2) ($a^2 \geq b,b\geq 0$)

Thoạt đầu,mình xin đưa ra một số bài toán về phần này trước:

1)So sánh $A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$ và $B=\sqrt{6+\sqrt{11}}-\sqrt{6-\sqrt{11}}$

2)Tính giá trị của biểu thức $P=\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$

3)Rút gọn biểu thức $C=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

4)Tính giá trị của biểu thức $D=\frac{\sqrt{45+27\sqrt{2}}+\sqrt{45-27\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}-\sqrt{3-\sqrt{2}}}$

5)Tính giá trị của biểu thức $E=5\bigg(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\bigg)^2+\bigg(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\bigg)^2$

6)Rút gọn biểu thức $F=\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}$

7)Chứng minh rằng $x^2-2x-2=0$ biết $x=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$

8)Cho biểu thức $D=\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}+\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})$

Chứng minh rằng $D$ là nghiệm của phương trình $D^2-14D+144=0$

(HSG Thiệu Phong-Quảng Trị 2019-2020)

9)Trục căn thức ở mẫu:$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{6}+8}$

10)Trục căn thức ở mẫu:$\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+3}$

Mời các bạn đóng góp lời giải+bài toán 

P/S:nếu có gì nhầm lỡ,nhờ các mod giúp em.
Thân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 14-01-2024 - 11:32

[dinhvu]

Câu 1:
Ta dùng công thức (1) thì:
$A=\sqrt{2(4-\sqrt{4^2-7})}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt{2}$ 
$B=\sqrt{2(6-\sqrt{6^2-11})}=\sqrt{2(6-5)}=\sqrt{2}$
Vậy $A=B$
Câu 2:
Ta dùng công thức (1) thì:
$P=\sqrt{2(4+\sqrt{16-10-2\sqrt{5}})}=\sqrt{2(4+\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{2(4+\sqrt{5}-1)}=\sqrt{6+2\sqrt{5}}=1+\sqrt{5}$
Vậy $P=1+\sqrt{5}$

[thvn]

Trong bài thấy toàn căn bậc 2 mà ông thứ 10 lại lù lù căn bậc 3 phi ra   , chắc bạn phải dùng hằng đẳng thức mở rộng này hay có giải pháp nào khác nhỉ?

$a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2} -ab-bc-ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 15-01-2024 - 08:35

[MHN]

3)Rút gọn biểu thức C=$\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{(1+2\sqrt{3})^{2}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}= \frac{2\sqrt{3+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$=\frac{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=1$

[nhancccp]

Trong bài thấy toàn căn bậc 2 mà ông thứ 10 lại lù lù căn bậc 3 phi ra   , chắc bạn phải dùng hằng đẳng thức mở rộng này hay có giải pháp nào khác nhỉ?

$a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2} -ab-bc-ca)$

Vâng ạ,Đặt $x=\sqrt[3]{2}$ ta được $A=\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+3}=\frac{1}{x^2+x+3}=\frac{x^4-x^3-2x^2-3x+9}{(x^2+x+3)(x^4-x^3-2x^2-3x+9)}=...=\frac{7-\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}}{15}$

Một số bài khử căn ở mẫu (căn bậc ba) như sau :

$i)$Trục căn thức ở mẫu $\frac{1}{\sqrt[3]{5}+2\sqrt[3]{25}+3}$

$ii$ Trục căn thức ở mẫu $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt[3]{9}+3\sqrt[3]{3}+7}$

Mình đăng thêm mấy bài và sẽ đưa lời giải các bài còn lại sau (nếu còn tồn)

${\color{Blue} \boxed{\text{11}}}$Chứng minh $x=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$ với $a \geq \frac{1}{8}$ là số tự nhiên

${\color{Blue} \boxed{\text{12}}}$So sánh hai số $M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ và $N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ (HSG Bà Rịa-Vũng Tàu 2022-2023)

${\color{Blue} \boxed{\text{13}}}$Khi $x=1+\sqrt[3]{2}$ thì biểu thức $P=x^4-5x^3+9x^2-12x+6$ có giá trị $a+\sqrt[3]{b}$.Tính giá trị của $a-2b$ (HSG Bắc Giang 2022-2023)

${\color{Blue} \boxed{\text{14}}}$ Cho biểu thức $f(x)=(2x^3-21x+2023)^{2024}$.Tính giá trị của biểu thức $f(x)$ tại $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

${\color{Blue} \boxed{\text{15}}}$ Cho số thực $a$ thỏa $a^3-a-1=0$,tính giá trị của biểu thức $B=a\sqrt{2a^6-4a^4+4a^2+3a}-\sqrt{2a^2+3a+2}$ (HSG Thanh Hóa 2023-2024)

${\color{Blue} \boxed{\text{16}}}$ 

a)Chứng minh rằng nếu $ax^3=by^3=cz^3$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ thì $\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

b)Tính giá trị của $C=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ biết $\left\{\begin{matrix} & ax^3=by^3=cz^3\\ & \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=k(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}) \end{matrix}\right.$

Cảm ơn vì sự sôi nổi của mọi người ạ.

[HaiDangPham]

Bài 10.

Ta có $\frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}+3}=\frac{1}{(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}+1)}$

$=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{ (\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)}. \frac{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1}{ (\sqrt[3]{4}+1)(\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1)}.$

$=\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{3}.\frac{\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{4}+1}{5}$

$=\frac{7-\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}}{15}$

[HaiDangPham]

Bài 11. Đặt $u=\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$ và $v=\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}$. 

Trước hết, dễ thấy $u^3+v^3=2a$. 

Tiếp theo ta có

$u.v=\sqrt[3]{(a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}})(a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}})}$

$=\sqrt[3]{a^2-\frac{(a+1)^2(8a-1)}{27}}$

$=\sqrt[3]{\frac{-(2a-1)^3}{27}}$

$=\frac{-(2a-1)}{3}$. 

Do đó

$x^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$

$=2a+3.\frac{-(2a-1)}{3}.x$

$=2a-(2a-1)x$

Suy ra $x^3+(2a-1)x-2a=0$ hay $(x-1)(x^2+x+2a)=0$. (*) 

Xét trường hợp $a=\frac{1}{8}$ khi đó thay vào công thức tính x ban đầu ta có ngay $x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}+\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=1$. 

Trường hợp $a > \frac{1}{8}$ ta có $x^2+x+2a > x^2+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2 \geq 0$. Vì vậy từ phương trình (*) ta có $x=1$. 

Tóm lại $x=1$ với mọi giá trị của $a \geq \frac{1}{8} $, hay $x$ là số tự nhiên với mọi $a \geq \frac{1}{8}$. 

 

[HaiDangPham]

BÀI 16. a) Đặt $ax^3=by^3=cz^3=k^3$.

Khi đó $\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3.\frac{1}{x}+by^3.\frac{1}{y}+cz^3.\frac{1}{z}}=\sqrt[3]{k^3.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}=k$. 

Mặt khác 

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k^3}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{z^3}}=k. (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=k$

Ta suy ra điều phải chứng minh. 

[HaiDangPham]

BÀI 11. Vì $x=1+\sqrt[3]{2}$  nên $(x-1)^3=2$ hay $x^3=3x^2-3x+3$, dẫn tới $x^4=3x^3-3x^2+3x$. 

Suy ra $P=x^4-5x^3+9x^2-12x+6$

$=(3x^3-3x^2+3x)-5x^3+9x^2-12x+6$

$=-2x^3+6x^2-9x+6$

$=-2(3x^2-3x+3)+6x^2-9x+6$

$=-3x$

Vậy $P=-3(1+\sqrt[3]{2})=(-3)+\sqrt[3]{-54}$.

Suy ra $a=-3, b=-54$, và ta có $a-2b=(-3)-2.(-54)=105$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-01-2024 - 21:49

[HaiDangPham]

Bài 14. Cho biểu thức $f(x)=(2x^3-21x+2023)^{2024}$.Tính giá trị của biểu thức $f(x)$ tại $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

 

Ta có $x^3=14+3.\sqrt[3]{7^2-\left(\sqrt{\frac{49}{8}}\right)^2}.x=14+\frac{21}{2}.x$, suy ra $2x^3-21x=28$. 

Do đó $f(x)=(28+2023)^{2024}=2051^{2024}$. 

[HaiDangPham]

Bài 15. Cho số thực $a$ thỏa $a^3-a-1=0$, tính giá trị của biểu thức $B=a\sqrt{2a^6-4a^4+4a^2+3a}-\sqrt{2a^2+3a+2}.$ 

 

Từ điều kiện $a^3-a-1=0$ ta suy ra

(i) $a^3=a+1$

(ii) $a^4=a^2+a$

(iii) $a^6=a^2+2a+1$. 

Do đó

$2a^6-4a^4+4a^2+3a$

$=2(a^2+2a+1)-4(a^2+a)+4a^2+3a$

$=2a^2+3a+2$. 

Suy ra 

$B=(a-1)\sqrt{2a^2+3a+2}$

$=\sqrt{(a-1)^2(2a^2+3a+2)}$

$=\sqrt{2a^4-a^3-2a^2-a+2}$

$=\sqrt{2(a^2+a)-(a+1)-2a^2-a+2}$

$=1.$

Vậy $B=1$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 17-01-2024 - 14:06

[MHN]

7) $x=$$\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+4-\sqrt{2}}}}$

$=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{4+2\sqrt{3}}}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{3}-1}}$

$=\sqrt{6+2\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2\sqrt{4-2\sqrt{3}}}=\sqrt{6+2(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$=\sqrt{3}+1$

$\Leftrightarrow x-1=\sqrt{3}\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3\Leftrightarrow x^{2}-2x-2=0$

[MHN]

8) $D=\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}+\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})$

Đặt $A=$$\sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$

     $ B=$$\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})$

$A^{2}=\left ( \sqrt{4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}-\sqrt{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \right )^{2}$

$=4-\sqrt{10-2\sqrt{5}}+4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2\sqrt{(4-\sqrt{10-2\sqrt{5}})(4+\sqrt{10-2\sqrt{5}})}$

$=8-2\sqrt{6+2\sqrt{5}}=8-2(\sqrt{5}+1)=6-2\sqrt{5}\Rightarrow A=\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$

$B=\sqrt{2}(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{14-5\sqrt{3}})=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}=\sqrt{3}+1+5-\sqrt{3}=6$

$\Rightarrow D=\sqrt{5}-1+6=\sqrt{5}+5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 17-01-2024 - 16:52

[MHN]

12) So sánh hai số $M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$ và $N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$

$M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}}+\sqrt[3]{\left ( \sqrt{3}+1 \right )^{3}}$

$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}+1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$N=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\Leftrightarrow N^{3}=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3N\sqrt[3]{\left ( 9+\sqrt{80} \right )\left ( 9-\sqrt{80} \right )}$

$=18+3N\sqrt[3]{81-80}=18+3N\Leftrightarrow N^{3}-3N-18=0\Leftrightarrow N=3$

$\Rightarrow M>N$

[nhancccp]

Mình xin đăng một số bài để luyện nữa:

${\color{Blue}\boxed{17}}$ (HSG Bình Thuận 2017-2018) Cho biểu thức $Q=\sqrt{25 x}:\left[\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{3 x+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{x}-1}\right]$ với $x \neq 1;x>0$

a)Rút gọn biểu thức $Q$ 

b)Tìm $x$ để biểu thức nhận giá trị nguyên 

Rút gọn biểu thức $P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\bigg(\frac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}\bigg),(a,b>0;a \neq b)$ (HSG Bắc Ninh 2023-2024)

${\color{Blue} \boxed{18}}$ Chứng minh biểu thức $P=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^3+\frac{2x^2}{\sqrt{x}}++y\sqrt{y}}{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}+\frac{3\sqrt{xy}-3y}{x-y}$ không phụ thuộc vào $x;y$ $(x>0;y>0;x \neq y)$

${\color{Blue} \boxed{19}}$ Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc  vào các biến 

a)$P=\frac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})}+\frac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})}+\frac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}$ $(x;y;z>0;x \neq y\neq z)$

b)$P=\bigg(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\bigg).\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$ ($(x>0;y>0;x \neq y)$

c)$T=\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}-\bigg(\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}\bigg)\bigg(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\bigg)$ $(x;y>0;x\neq y)$

${\color{Blue}\boxed{20}}$ Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{\frac{16}{x^2}-\frac{8}{x}+1}}$ với $x>4$

a)Rút gọn $P$

b)Với giá trị nào của $x$ thì $P$ đạt giá trị nhỏ nhất,$P$ nhận giá trị nguyên ?

 

[MHN]

17) $Q=\sqrt{25 x}:\left[\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{3 x+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{x}-1}\right]$ với $x \neq 1;x>0$

a,$\Leftrightarrow$ $Q=5\sqrt{x}:\left [ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^{3}}+1)}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}(3\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}}+\frac{3(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1} \right ]$

$=5\sqrt{x}:\left [ \sqrt{x}(\sqrt{x}+1) -3\sqrt{x}-2+3(\sqrt{x}+1)\right ]=5\sqrt{x}:\left ( x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2+3\sqrt{x}+3 \right )$

$=5\sqrt{x}:(x+\sqrt{x}+1)=\frac{5\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$ 

b, Ta có: $5\leq Q=\frac{5\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\leq \frac{20}{3}\Rightarrow Q\in${5,6}

[MHN]

19) a; $P=\frac{x}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z})}+\frac{y}{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{y}-\sqrt{x})}+\frac{z}{(\sqrt{z}-\sqrt{x})(\sqrt{z}-\sqrt{y})}$

$=\frac{-x(\sqrt{y}-\sqrt{z})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}-\frac{y(\sqrt{z}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}-\frac{z(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{-x\sqrt{y}+x\sqrt{z}-y\sqrt{z}+y\sqrt{x}-z\sqrt{x}+z\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{-x(\sqrt{y}-\sqrt{z})-\sqrt{yz}(\sqrt{y}-\sqrt{z})+\sqrt{x}(y-z)}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{z})(-x-\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{zx})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$

$=\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{z})\left [ -\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{z}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \right ]}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}$ 

$=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{z})(\sqrt{z}-\sqrt{x})}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 19-01-2024 - 21:19

[MHN]

19) b; $P=\bigg(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\bigg).\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}=\left [ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{xy}(x-y)}+\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{xy}(x-y)} \right ].\frac{x\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}$

$=\frac{2x\sqrt{xy}(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)(x+y)}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2(x-y)}{x-y}=2$

[phomacsudoi]

Mình xin đăng một số bài để luyện nữa:

${\color{Blue}\boxed{17}}$ (HSG Bình Thuận 2017-2018) Cho biểu thức $Q=\sqrt{25 x}:\left[\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{3 x+2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{3(x-1)}{\sqrt{x}-1}\right]$ với $x \neq 1;x>0$

a)Rút gọn biểu thức $Q$ 

b)Tìm $x$ để biểu thức nhận giá trị nguyên 

Rút gọn biểu thức $P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\bigg(\frac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}\bigg),(a,b>0;a \neq b)$ 

$P=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\bigg[\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})})+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}\bigg]=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}.\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}}$

Vậy $P=\frac{1}{\sqrt{a}}$

[phomacsudoi]

Em xin đóng góp hai bài khá quen thuộc như sau :

21)Cho ba số thực $x;y;z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=a$,Chứng minh rằng $x\sqrt{\frac{(y^2+a)(z^2+a)}{x^2+a}}+y\sqrt{\frac{(x^2+a)(z^2+a)}{y^2+a}}+z\sqrt{\frac{(x^2+a)(y^2+a)}{z^2+a}}=2a$

22)Cho hai số thực $x;y$ thỏa mãn $(x+\sqrt{x^2+a})(y+\sqrt{y^2+a})=a$.Tính giá trị của $A=x+y$

23)Cho hai số thực $x;y$ thỏa mãn $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2$,tính giá trị biểu thức $x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}$