Chủ đề này có 64 trả lời

[MHN]

21) Ta có: $x^2+a=x^2+xy+yz+zx=x(x+y)+z(x+y)=(z+x)(x+y)$

Tương tự: $y^2+a=y^2+xy+yz+zx=y(x+y)+z(x+y)=(x+y)(y+z)$
$z^2+a=z^2+xy+yz+zx=z(y+z)+x(y+z)=(y+z)(z+x)$
$\Rightarrow$ $x\sqrt{\frac{(y^2+a)(z^2+a)}{x^2+a}}+y\sqrt{\frac{(x^2+a)(z^2+a)}{y^2+a}}+z\sqrt{\frac{(x^2+a)(y^2+a)}{z^2+a}}=x\sqrt{(y+z)^2}+y\sqrt{(z+x)^2}+z\sqrt{(x+y)^2}$

Mà: $x,y,z>0$$\Rightarrow VT=2(xy+yz+zx)=2a(đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 25-01-2024 - 07:07

[MHN]

22)Cho hai số thực $x;y$ thỏa mãn $(x+\sqrt{x^2+a})(y+\sqrt{y^2+a})=a$.Tính giá trị của $A=x+y$

22) Ta có: $\left ( x+\sqrt{x^2+a} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )\left ( x+\sqrt{x^2+a} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )$

$\Leftrightarrow a\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a\left ( \sqrt{x^2+a}-x \right )\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+a}=\sqrt{x^2+a}-x$

TT:$\sqrt{y^2+a}-y=\sqrt{x^2+a}+x$

Trừ 2 PT $\Rightarrow A=x+y=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 25-01-2024 - 07:44

[Hahahahahahahaha]

mình xin góp vài câu 

22/ Tính giá trị biểu thức $P=\frac{x^{5}-4x^{3}-17x+9}{x^{4}+3x^{2}+2x+11}$ với $\frac{x}{x^{2}+x+1}=\frac{1}{4}$

23/ cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz=4$ tình giá trị biểu thức:

$H=\frac{15\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2}+\frac{5\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3}+\frac{10\sqrt{z}}{3\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$

24/ tính giá trị của biểu thức $G=\frac{4(x+1)x^{2023}-2x^{2022}+2x+1}{2x^{2}+3x} $ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$

[nhancccp]

Cảm ơn bạn.

Theo mình thì đề câu 24 là  "Tính giá trị của biểu thức $G=\frac{4(x+1)x^{2023}-2x^{2022}+x+1}{2x^2+3x}$ tại $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}$ thi sẽ đẹp hơn" và khi ấy $G=1$ còn nếu không thì $G=3-\sqrt{3}$

22)Ta có $\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2-3x+1=0$.Vậy $P=\frac{x^5-4x^3-17x+9}{x^4+3x^2+2x+11}=\frac{(x^2-3x+1)(x^3+3x^2+4x+9)+6x}{(x^2+3x+11)(x^2-3x+11)+32x}=\frac{3}{16}$

23)$\displaystyle H=\frac{15\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2}+\frac{5\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3}+\frac{10\sqrt{z}}{3\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=\frac{15\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}+\frac{5\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3}+\frac{10\sqrt{z}}{\sqrt{xz}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}=\frac{5\sqrt{z}(3\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2)}{\sqrt{xz}(\sqrt{yz}+\sqrt{y}+3)}=5$

Vậy $H=5$

24)Ta có $\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2\sqrt{3}+2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$\Rightarrow 2x^2+2x-1=0$

Vậy $\displaystyle G=\frac{4(x+1)x^{2023}-2x^{2022}+x+1}{2x^2+3x}=\frac{2x^{2022}(2x^2+2x-1)+x+1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$

Để "đổi gió" ta nên đưa ra một số bài hệ,phương trình đại số,phương trình vô tỷ được không các bạn     

[Hahahahahahahaha]

25/ chứng minh $x_{0}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là nghiệm phương trình:

$x^{4}-16x^{2}+32=0$

26/ Tính 

a, $A=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2008}}$

b, $B=\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2009^{2}}+\frac{1}{2010^{2}}}$

27/ cho $a^{2}+a+1=0$ tính giá trị của biểu thức: $P=a^{1981}+\frac{1}{a^{1981}}$

28/ tìm $x$ biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$  (trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa $5$ và $13$ một cách vô hạn lần

29/ tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:

$P_{n}=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2n-1)^{2}})$ biết rằng nó đúng với $n\geq 1$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 26-01-2024 - 13:31

[nhancccp]

25/ chứng minh $x_{0}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ là nghiệm phương trình:

$x^{4}-16x^{2}+32=0$

26/ Tính 

a, $A=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2008}}$

b, $B=\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2009^{2}}+\frac{1}{2010^{2}}}$

27/ cho $a^{2}+a+1=0$ tính giá trị của biểu thức: $P=a^{1981}+\frac{1}{a^{1981}}$

28/ tìm $x$ biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$  (trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa $5$ và $13$ một cách vô hạn lần

29/ tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:

$P_{n}=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2n-1)^{2}})$ biết rằng nó đúng với $n\geq 1$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Câu 27 bạn xem đề lại nhé,Mặc dù ta vẫn tính được $P=-1$ nhưng $a^2+a+1=0$ vô nghiệm trên trường số thực thì tính trên trường số phức luôn à :? 

25)Ta có $x_{0}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\Rightarrow x_0^2=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{\bigg(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)\bigg(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}\bigg)}$$\Rightarrow (x_0^2-8)^2=(-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2\Leftrightarrow x^4-16x^2+32=0 (dpcm)$

26)$A=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+...+\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2008}}=\frac{1-\sqrt{5}}{-4}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{9}}{-4}+...+\frac{\sqrt{2004}-\sqrt{2008}}{-4}=\frac{1-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{9}++...+\sqrt{2004}-\sqrt{2008}}{-4}=\frac{\sqrt{2008}-1}{4}$

Vậy $A=\frac{\sqrt{2008}-1}{4}$

b)Áp dụng $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\sqrt{\frac{(x^2+x+1)^2}{x^2(x+1)^2}}=\frac{x^2+x+1}{x(x+1)}(x>0)$ rồi thế vào $B$

[MHN]

26;b) $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}}=\sqrt{\left ( 1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )^2}=1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}(x>0)$

$\Rightarrow B=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}=2008+\frac{1}{2}-\frac{1}{2010}=2008\tfrac{502}{1005}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 26-01-2024 - 19:51

[Hahahahahahahaha]

27) Từ $a^{2}+a+1=0 => a\neq 1 =>(a-1)(a^{2}+a+1)=0 => a^{3}=1$

$P=a^{1980}.a+\frac{1}{a^{1980}.a}=(a^{3})^{660}.a+\frac{1}{(a^{3})^{660}.a}=a+\frac{1}{a}=\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{-a}{a}=-1$

GHI CHÚ: ở bài này $a$ thỏa $a^{2}+a+1=0$, nên một cách không tường minh người ta đã cho $a$ trong trường số phức. 

[MHN]

28/ tìm $x$ biết $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$  (trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa $5$ và $13$ một cách vô hạn lần

$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}\Leftrightarrow x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{13+x}$

$\Leftrightarrow \left ( x^2-5 \right )^2=13+x\Leftrightarrow x^4-10x^2+25=13+x\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\Leftrightarrow x=3$

[MHN]

30) Rút gọn: $A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}$

31) Gọi a là nghiệm dương của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$ .Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2}$

32) Cho biểu thức $C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}$ .Tìm các giá trị nguyên của a để C có giá trị nguyên.

33) Rút gọn biểu thức: $D=\left ( \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b} \right ).\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$

34) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=0$ Chứng minh rằng: $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-01-2024 - 00:47

[nhancccp]

30) Rút gọn: $A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}$

31) Gọi a là nghiệm dương của phương trình $\sqrt{2}x^2+x-1=0$ .Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(2a^4-2a+3)}+2a^2}$

32) Cho biểu thức $C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}$ .Tìm các giá trị nguyên của a để C có giá trị nguyên.

33) Rút gọn biểu thức: $D=\left ( \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b} \right ).\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}$

34) Cho $a,b,c$ là các số thực khác 0 thỏa mãn $ab+bc+ca=0$ Chứng minh rằng: $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3$

30)$A=\frac{x^4-x^3-2x-4}{2x^4-3x^3+2x^2-6x-4}=\frac{x^2(x^2-x-2)+2(x^2-x-2)}{x^2(2x^2-3x-2)+2(2x^2-3x-2)}=\frac{(x^2+2)(x+1)(x-2)}{(x^2+2)(x-2)(2x+1)}=\frac{x+1}{2x+1}$

Vậy $A=\frac{x+1}{2x+1}$

32)ĐK:$a >4$

$C=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}=\frac{\sqrt{2(a+\sqrt{a^2-16a+64})}}{\sqrt{\frac{a^2-8a+16}{a^2}}}=\frac{a\sqrt{2(a+|a-8|)}}{a-4}$

Xét $4<a<8$ ta có $C=\frac{a\sqrt{2(a+8-a)}}{a-4}=\frac{4a}{a-4}=4+\frac{16}{a-4}$

Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $16 \vdots a-4$ ...Vậy $a=5;a=6$ thì $C$ nhận giá trị nguyên

Xét $a\geq 8$ ta có $C=\frac{2a\sqrt{a-4}}{a-4}=\frac{2a}{\sqrt{a-4}}$$\Rightarrow C^2=\frac{4a^2}{a-4}=4a+16+\frac{64}{a-4}$.Vì $C \in \mathbb{Z}$ nên $C^2\in \mathbb{Z}$

Để $C^2\in \mathbb{Z}$ thì $64 \vdots a-4$...Vậy $a=8,a=12,a=20,a=68$

Kết:Để $C$ nhận giá trị nguyên thì $a=5,a=6,a=8,a=12,a=20,a=68$

33)ĐK:$a\neq b,a;b \geq 0$

$D=\bigg(\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}\bigg).\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\bigg(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\bigg).\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a+b-\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}$

34)Ta có $ab+bc+ac=0 \Rightarrow (ab+bc+ac)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2)=0\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=3a^2b^2c^2\Rightarrow \displaystyle \frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=3 (a;b;c \neq 0)$

32)$\sqrt{2}x^2+x-1=0\Leftrightarrow x-1=-\sqrt{2}x^2\Rightarrow 2x^4-x^2+2x-1=0\Rightarrow 2a^4-2a+3=a^2-4a+4$

Dễ chứng minh $a<2$ nên $B=\frac{2a-3}{\sqrt{2(a^2-4a+4)}+2a^2}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}(2-a)+2a^2}=\frac{2a-3}{\sqrt{2}(\sqrt{2}a^2+a-1)-\sqrt{2}(2a-3)}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

Vậy $B=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

[phomacsudoi]

Một số bài tương tự bài 34:

34.1)Cho $a;b;c$ thỏa $abc \neq 0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ 

34.2)Cho $a;b;c$ là các số thực khác không,đôi một phân biệt thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{[a^2+2(bc-1)][b^2+2(ac-1)][c^2+2(ab-1)]}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

34.3)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $ab+bc+ac=0$.Tính $B=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2-a^2c^2}+\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2}+\frac{a^2b^2c^2}{c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2}$

34.4)Cho $ax+by+cz=0$ và $a+b+c=\frac{1}{2024}$.Chứng minh rằng $\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=2024$

34.5)Rút gọn biểu thức $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

35)Tìm $min,max$ của các biểu thức sau bằng hai cách (miền giá trị,đạo hàm)

a)$A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}$

b)$B=\frac{2x^2+4x+5}{x^2+1}$

c)$C=\frac{27-12x}{x^2+9}$

d)$D=\frac{x+1}{x^2+x+1}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phomacsudoi: 28-01-2024 - 16:44

[MHN]

34.2)Cho $a;b;c$ là các số thực khác không,đôi một phân biệt thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{[a^2+2(bc-1)][b^2+2(ac-1)][c^2+2(ab-1)]}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$$\Leftrightarrow ab+bc+ca=2$

$a^2+2(bc-1)=a^2+2bc-2=a^2+2bc-ab-bc-ca=a^2+bc-ab-ca=a(a-b)-c(a-b)=(a-c)(a-b)$

$b^2+2(ca-1)=b^2+2ca-2=b^2+2ca-ab-bc-ca=b^2+ca-ab-bc=b(b-c)-a(b-c)=(b-a)(b-c)$

$c^2+2(ab-1)=c^2+2ab-1=c^2+2ab-ab-bc-ca=c^2+ab-bc-ca=c(c-a)-b(c-a)=(c-b)(c-a)$

$\Rightarrow P=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-01-2024 - 15:06

[MHN]

34.1) Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\Leftrightarrow c(a+b)=-ab\Leftrightarrow a+b=\frac{-ab}{c}$

$ TT:b+c=\frac{-bc}{a}; c+a=\frac{-ca}{b}$

$ \Rightarrow A=\frac{\frac{(-ab)(-bc)(-ca)}{abc}}{abc}=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-01-2024 - 17:02

[nhancccp]

Một số bài tương tự bài 34:

34.1)Cho $a;b;c$ thỏa $abc \neq 0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ 

34.2)Cho $a;b;c$ là các số thực khác không,đôi một phân biệt thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{abc}$

Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{[a^2+2(bc-1)][b^2+2(ac-1)][c^2+2(ab-1)]}{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}$

34.3)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $ab+bc+ac=0$.Tính $B=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2-a^2c^2}+\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2}+\frac{a^2b^2c^2}{c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2}$

34.4)Cho $ax+by+cz=0$ và $a+b+c=\frac{1}{2024}$.Chứng minh rằng $\frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=2024$

34.5)Rút gọn biểu thức $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

35)Tìm $min,max$ của các biểu thức sau bằng hai cách (miền giá trị,đạo hàm)

a)$A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}$

b)$B=\frac{2x^2+4x+5}{x^2+1}$

c)$C=\frac{27-12x}{x^2+9}$

d)$D=\frac{x+1}{x^2+x+1}$

34.5)$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{b^2(a+c)+b(a^2+c^2+2ac)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=1$

34.4)Xét hiệu $(ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)-[bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2]$$=a^2x^2+abx^2+aby^2+acx^2+acz^2+b^2y^2+bcy^2+bcz^2+c^2z^2-(abx^2-2abxy+aby^2+caz^2-2caxz+cax^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2)$$=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+acxz+bcyz)$$=(ax+by+cz)^2=0$

$\Rightarrow (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)=bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2\Rightarrow \frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2024}}=2024(dpcm)$

34.1)Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0$

Xét tổng $(a+b)(b+c)(a+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)=0$$\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=-abc\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=-1$

Vậy $A=-1$

35)a)Ta có $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $A$ luôn xác định 

cách thứ nhất:phương pháp miền giá trị

Với một giá trị của $x$ tương ứng ta tính được một giá trị của $A$ sao cho $A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\Leftrightarrow (A-1)x^2-2(A+1)x+2(A-1)=0(*)$

Xét $A=1\Rightarrow x=0$,Vậy $A=1$ là một giá trị 

Xét $A \neq 1$,để (*) có nghiệm thì $\Delta'=A^2+2A+1-2(A^2-2A+1)=-A^2+6A-1 \geq 0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2} \leq A \leq 3+2\sqrt{2}$.

Vậy $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Cách thứ hai:dùng đạo hàm 

$A'=\bigg(\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\bigg)'=\frac{(x^2+2x+2)'(x^2-2x+2)-(x^2-2x+2)'(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{(2x+2)(x^2-2x+2)-(2x-2)(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-4x^2+8}{(x^2-2x+2)^2}$

Do đó $A'=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vẽ bảng biến thiên (em chưa biết vẽ trên Latex)

Theo bảng biến thiên $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Các câu còn lại tương tự 

Bài tập tương tự:

36)Cho $\left\{\begin{matrix} & x;y;z \neq 0\\ & x\bigg(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)+y\bigg(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\bigg)+z\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg)=2\\ & x^3+y^3+z^3=1 \end{matrix}\right.$.Tính $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

37)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 28-01-2024 - 17:24

[MHN]

34.5)$\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$=\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{b^2(a+c)+b(a^2+c^2+2ac)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=1$

34.4)Xét hiệu $(ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)-[bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2]$$=a^2x^2+abx^2+aby^2+acx^2+acz^2+b^2y^2+bcy^2+bcz^2+c^2z^2-(abx^2-2abxy+aby^2+caz^2-2caxz+cax^2+bcy^2-2bcyz+bcz^2)$$=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(abxy+acxz+bcyz)$$=(ax+by+cz)^2=0$

$\Rightarrow (ax^2+by^2+cz^2)(a+b+c)=bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2\Rightarrow \frac{ax^2+by^2+cz^2}{bc(y-z)^2+ca(z-x)^2+ab(x-y)^2}=\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{\frac{1}{2024}}=2024(dpcm)$

34.1)Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0$

Xét tổng $(a+b)(b+c)(a+c)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ac)=0$$\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=-abc\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}=-1$

Vậy $A=-1$

35)a)Ta có $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $A$ luôn xác định 

cách thứ nhất:phương pháp miền giá trị

Với một giá trị của $x$ tương ứng ta tính được một giá trị của $A$ sao cho $A=\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\Leftrightarrow (A-1)x^2-2(A+1)x+2(A-1)=0(*)$

Xét $A=1\Rightarrow x=0$,Vậy $A=1$ là một giá trị 

Xét $A \neq 1$,để (*) có nghiệm thì $\Delta'=A^2+2A+1-2(A^2-2A+1)=-A^2+6A-1 \geq 0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2} \leq A \leq 3+2\sqrt{2}$.

Vậy $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Cách thứ hai:dùng đạo hàm 

$A'=\bigg(\frac{x^2+2x+2}{x^2-2x+2}\bigg)'=\frac{(x^2+2x+2)'(x^2-2x+2)-(x^2-2x+2)'(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{(2x+2)(x^2-2x+2)-(2x-2)(x^2+2x+2)}{(x^2-2x+2)^2}=\frac{-4x^2+8}{(x^2-2x+2)^2}$

Do đó $A'=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Vẽ bảng biến thiên (em chưa biết vẽ trên Latex)

Theo bảng biến thiên $Min A=3-2\sqrt{2}$ khi $x=-\sqrt{2}$,$MaxA=3+2\sqrt{2}$ khi $x=\sqrt{2}$

Các câu còn lại tương tự 

Bài tập tương tự:

36)Cho $\left\{\begin{matrix} & x;y;z \neq 0\\ & x\bigg(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)+y\bigg(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\bigg)+z\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\bigg)=2\\ & x^3+y^3+z^3=1 \end{matrix}\right.$.Tính $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

37)Cho $a;b;c \neq 0$ thỏa $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ 

37) $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}$

Mà: $abc=1$$\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca$ $\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=(ab-a-b+1)(c-1)=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1=0$

36) $x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )+z\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=-2\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=-2\Leftrightarrow x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz=0$

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$

Xét $x=-y$$\Rightarrow z^3=1\Leftrightarrow z=1\Rightarrow A=1$

TT với các TH còn lại.

Bài này nếu bằng -2 thì có lẽ đề đúng hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 29-01-2024 - 21:45

[Hahahahahahahaha]

38/ cho $x>0$ thỏa mãn $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ .CMR: $x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$ là một số nguyên và tìm số nguyên đó.

39/ cho $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b};x^{2}+y^{2}=1$ .CMR: $\frac{x^{2000}}{a^{1000}}+\frac{y^{2000}}{b^{1000}}=\frac{2}{(a+b)^{1000}}$

40/ cho $a,b,c$ là ba số thực khác nhau. CMR: $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{a+c}{c-a}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{a+c}{c-a}.\frac{b+a}{a-b}=-1$

41/ cho $x,y$ thỏa mãn: $x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b;xy+\frac{1}{xy}=c$

CMR: ta có hệ thức: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=abc+4$

42/ 

a, cho $x+y+z=a;x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{c}$ tính $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ theo $a,b,c$

b, cho $x,y,z$ là ba số thỏa mãn $xyz=1;x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ tính giá trị của biểu thức: $P=(x^{19}-1)(y^{5}-1)(z^{1890}-1)$ bài số mũ đẹp!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 30-01-2024 - 18:21

[nhancccp]

43)Chứng minh rằng $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ac-bd)}$ là số hữu tỉ trong đó $a;b;c;d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $a+b+c+d=0$

44)Cho $a;b>0;c \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$.Chứng minh rằng $\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}$

45)Tìm số thực $x$ để giá trị biểu thức $M=\sqrt[3]{6+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{x}}$ nhận giá trị nguyên

46)Cho $a;b$ là các số dương sao cho $a>b>0$ và biểu thức $P=\frac{1}{a^3-b^3}\bigg[(a^2-b^2)(a^2-ab+b^2)-(a-b)\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a^2-b^2)(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\bigg]$

a)Rút gọn biểu thức $P$

b)Chứng minh rằng $P<3$ với $a^2+b^2=2$

47)Tìm $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt $x^4-(m+1)x^3+2mx^2-(m^2+m-1)x-m-1=0$

Lần sau,ta sẽ đi qua chuyên đề hàm số bậc nhất,phương trình bậc hai nhé 

[phomacsudoi]

38/ cho $x>0$ thỏa mãn $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ .CMR: $x^{5}+\frac{1}{x^{5}}$ là một số nguyên và tìm số nguyên đó.

39/ cho $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b};x^{2}+y^{2}=1$ .CMR: $\frac{x^{2000}}{a^{1000}}+\frac{y^{2000}}{b^{1000}}=\frac{2}{(a+b)^{1000}}$

40/ cho $a,b,c$ là ba số thực khác nhau. CMR: $\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{a+c}{c-a}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{a+c}{c-a}.\frac{b+a}{a-b}=-1$

41/ cho $x,y$ thỏa mãn: $x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b;xy+\frac{1}{xy}=c$

CMR: ta có hệ thức: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=abc+4$

42/ 

a, cho $x+y+z=a;x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{c}$ tính $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ theo $a,b,c$

b, cho $x,y,z$ là ba số thỏa mãn $xyz=1;x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ tính giá trị của biểu thức: $P=(x^{19}-1)(y^{5}-1)(z^{1890}-1)$ bài số mũ đẹp!

Bài 40) hình như đã có (kèm lời giải) trên box Đại số rồi ạ

38) Ta có $x^2+\frac{1}{x^2}=7\Leftrightarrow \bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)^2=9\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}= \pm 3$

Vậy $x^5+\frac{1}{x^5}=\bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)\bigg(x^4+\frac{1}{x^4}\bigg)-\bigg(x^3+\frac{1}{x^3}\bigg)=\pm 3\bigg[\bigg(x^2+\frac{1}{x^2}\bigg)^2-2\bigg]-\bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)\bigg(x^2+\frac{1}{x^2}-1\bigg)=123$

Cách khác $x^2+\frac{1}{x^2}=7\Rightarrow x^4-7x^2+1=0\Leftrightarrow (x^2-3x+1)(x^2+3x+1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \\ x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}\right.$ rồi thế vào 

41)ĐK:$x;y \neq 0$

Theo đề bài ta đi chứng minh $\bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\frac{1}{y}\bigg)^2+\bigg(xy+\frac{1}{xy}\bigg)^2=\bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)\bigg(y+\frac{1}{y}\bigg)\bigg(xy+\frac{1}{xy}\bigg)+4$

Khai triển hai vế $VT=\bigg(x+\frac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\frac{1}{y}\bigg)^2+\bigg(xy+\frac{1}{xy}\bigg)^2=x^2+y^2+x^2y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}+6$;$VP=\bigg(xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}\bigg)\bigg(xy+\frac{1}{xy}\bigg)+4=x^2+y^2+x^2y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}+6$

Vậy $VT=VP (dpcm)$

42)ĐK:$x;y;z;c \neq 0$$

b)Ta có $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Rightarrow xyz(x+y+z)=xy+yz+xz$$\Rightarrow x+y+z-(xy+yz+xz)=0$

Vậy $(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ y=1 \\ z=1 \end{array}\right.$

Vậy $P=0$

[phomacsudoi]

47)Tìm $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt $x^4-(m+1)x^3+2mx^2-(m^2+m-1)x-m-1=0$

Lần sau,ta sẽ đi qua chuyên đề hàm số bậc nhất,phương trình bậc hai nhé 

$x^4-(m+1)x^3+2mx^2-(m^2+m-1)x-m-1=0(*)\Leftrightarrow (x^2-x+m+1)(x^2-mx-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2-x+m+1=0 (1) \\ x^2-mx-1=0 (2) \end{array}\right.$

Để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì $\left\{\begin{matrix} & \Delta_1=1-4m-4=-4m-3 > 0\\ & \Delta_2=m^2+4>0\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m < -\frac{3}{4}$ và hai phương trình (1),(2)  không có nghiệm chung

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).ta có $\left\{\begin{matrix} &x_0^2-x_0+m+1=0 \\ & x_0^2-mx_0-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (1-m)x_0=m+2\Leftrightarrow x_0=\frac{m+2}{1-m} (m \neq 1)$

Thay $x_0=\frac{m+2}{1-m}$ vào (1)  ta được $\frac{m^3+m^2+4m+3}{m-1}=0$

(áp dụng công thức cardano...(dài dòng lắm))

$\Leftrightarrow m=\frac{-1-11\sqrt[3]{\frac{2}{9\sqrt{93}-47}}+\sqrt[3]{\frac{9\sqrt{93}-47}{2}}}{3} (tm)$

Vậy để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì $m<\frac{-3}{4},m \neq \frac{-1-11\sqrt[3]{\frac{2}{9\sqrt{93}-47}}+\sqrt[3]{\frac{9\sqrt{93}-47}{2}}}{3}$