Bài 52: Cho $x,y,z \neq 0$ thỏa mãn $\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{z^2}=\frac{z^2+x}{x^2}=2$.
Chứng minh $\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}$ là một số nguyên
Từ giả thiết ta có: $x^2=y(2y-1)$$(1)$
$y^2=z(2z-1)$$(2)$
$z^2=x(2x-1)$$(3)$
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:$\frac{x^2+y}{y^2}=\frac{y^2+z}{z^2}=\frac{z^2+x}{x^2}=\frac{x^2+y^2+z^2+x+y+z}{x^2+y^2+z^2}=2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+x+y+z\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z$$(4)$
Đặt $A=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}$
TH1: $3$ số $x;y;z$ có ít nhất một số bằng $1$.
Giả sử $x=1.$Từ $(3)$$\Rightarrow z^2=1$ $\Rightarrow z=\pm 1$
Với $z=1$$\Rightarrow y^2=1$(Từ (2))$\Rightarrow y=1$(Từ (1))$\Rightarrow x=y=z=1\Rightarrow A=3\in \mathbb{Z}$
Với $z=-1$$\Rightarrow y^2=3$(Từ (2)) mà từ (1) có $y=5$$\Rightarrow$ Loại.
TH2: $x;y;z\neq 1$
Ta có: $A=\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}= \frac{x^2}{xy^2}+\frac{y^2}{yz^2}+\frac{z^2}{zx^2}$
$=\frac{y(2y-1)}{xy^2}+\frac{z(2z-1)}{yz^2}+\frac{x(2x-1)}{zx^2}=\frac{2y-1}{xy}+\frac{2z-1}{yz}+\frac{2x-1}{zx}=\frac{2(xy+yz+zx)-(x+y+z)}{xyz}$$(5)$
Lấy $(1).(2).(3)$ được $x^2y^2z^2=xyz(2x-1)(2y-1)(2z-1)\Leftrightarrow xyz=(2x-1)(2y-1)(2z-1)$
$\Leftrightarrow xyz=(4xy-2x-2y+1)(2z-1)=8xyz-4zx-4yz-4xy+2x+2y+2z-1\Leftrightarrow 7xyz=4(xy+yz+zx)-2(x+y+z)+1$$(6)$
Từ $(1)$$\Leftrightarrow x^2-1=y(2y-1)-1\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=2y^2-y-1=(2y+1)(y-1)$
TT:$(y+1)(y-1)=(z-1)(2z+1);(z+1)(z-1)=(2x+1)(x-1)$
$\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(2x+1)(2y+1)(2z+1)\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=8xyz+4xy+4yz+4zx+2x+2y+2z+1$
$\Leftrightarrow 7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$
$\Rightarrow -3(xy+yz+zx)-(x+y+z)=4(xy+yz+zx)-2(x+y+z)+1\Leftrightarrow 7(xy+yz+zx)+1=x+y+z$$(7)$
$\Rightarrow (x+y+z)^2=\left [ 7(xy+yz+zx)+1 \right ]^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=49(xy+yz+zx)^2+12(xy+yz+zx)+1$$(8)$
Từ $(4);(7);(8)$ ta được: $49(xy+yz+zx)^2+12(xy+yz+zx)+1=7(xy+yz+zx)+1$
$\Leftrightarrow 49(xy+yz+zx)^2+5(xy+yz+zx)=0\Leftrightarrow (xy+yz+zx)\left [ 49(xy+yz+zx)+5 \right ]=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} xy+yz+zx=0\\ 49(xy+yz+zx)+5=0\\ \end{matrix} \right.$
Với $xy+yz+zx=0$$\Rightarrow x+y+z=1$(Từ (7))
Từ $7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$$\Rightarrow xyz=\frac{-1}{7}\Rightarrow A=7\in \mathbb{Z}$(Từ (5))
Với $49(xy+yz+zx)+5=0$$\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{-5}{49}$$\Rightarrow x+y+z=\frac{2}{7}$(Từ (7))
Từ $7xyz=-3(xy+yz+zx)-(x+y+z)$$\Rightarrow xyz=\frac{1}{343}$$\Rightarrow A=-168\in \mathbb{Z}$(Từ (5))
Vậy$A\in \mathbb{Z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 19-02-2024 - 16:15
.
