Ta sẽ sử dụng liên hợp (hoặc hàm đặc trưng) để giải quyết bài toán trên
58)ĐK:$y \leq -x^2,x \leq -y^2$
Ta có $(\sqrt{y^2+x}+x)(\sqrt{x^2+y}-y)=y$
$\Leftrightarrow (\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}-y^2-y)+(x\sqrt{x^2+y}-y\sqrt{x+y^2})+(-xy-y+y^2+y)=0$
$\Leftrightarrow \frac{(x-y)(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y(x-y)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)\bigg[\frac{(x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y)}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{(x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3)}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y\bigg]=0$
Vậy $x=y$ hoặc $\frac{x^2+xy^2+xy+y^3+y^2+y}{\sqrt{(y^2+x)(x^2+y)}+y^2+y}+\frac{x^3+x^2y+xy^2+xy+y^3}{x\sqrt{x^2+y}+y\sqrt{x+y^2}}-y=0(*)$
Dễ chứng minh Vt(*)>0 nên (*) vô nghiệm với $y \leq -x^2,x \leq -y^2$
Vậy $x=y$
.
