(Iran Second Round 2008). Tìm a nguyên dương sao cho $4\left ( a^{n}+1 \right )$ là lập phương của một số nguyên dương với mọi n.
$4\left ( a^{n}+1 \right )$ là lập phương của một số nguyên dương với mọi n.
Bắt đầu bởi ninhbinhk8, 20-02-2024 - 22:00
#2
Đã gửi 22-02-2024 - 12:17
Nguyen Bao Khanh
-
- Hái lộc VMF 2024
-
- 77 Bài viết
Hạ sĩ
#3
Đã gửi 23-02-2024 - 21:54
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 678 Bài viết
Thiếu úy
(Iran Second Round 2008). Tìm a nguyên dương sao cho $4\left ( a^{n}+1 \right )$ là lập phương của một số nguyên dương với mọi n.
Sau đây là lời giải của THPT.
Với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $x_n=\sqrt[3]{4(a^n+1)}$, theo giả thiết thì $x_n\in \mathbb{Z}$. Ta có
\[x_{n+3}-ax_n=\sqrt[3]{4(a^{n+3}+1)}-a\sqrt[3]{4(a^n+1)}=\frac{4(1-a^3)}{x_{n+3}^2+x_{n+3}\cdot ax_n+(ax_n)^2}.\]
Vì $\lim_{n\to \infty} x_n=+\infty$ nên $\lim_{n\to \infty} (x_{n+3}-ax_n)=0$, tuy nhiên vì là dãy số nguyên nên tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho
\[x_{n+3}=ax_n,\quad \forall n\ge N.\]
Từ đây tìm được $a=1$, thử lại thỏa mãn.
Ghi chú. Có thể tham khảo thêm phương pháp "sử dụng giải tích trong số học" thông qua tài liệu ở đây.
- perfectstrong, hxthanh và Hoang72 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
