Chủ đề này có 10 trả lời

[Khanh12321]

Cho tứ giác $ABCD$ có $AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}$.Chứng minh: $S_{ABCD}\leq \frac{AC^{2}+BD^{2}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-04-2024 - 17:52
Tiêu đề & Bài viết

[nonamebroy]

Theo mình thì giả sử AC vuông góc với BD sau đó chứng minh luôn đúng theo pitago được $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD\leq \frac{AC^2+BD^2}{4}$

[Khanh12321]

Theo mình thì giả sử AC vuông góc với BD sau đó chứng minh luôn đúng theo pitago được $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD\leq \frac{AC^2+BD^2}{4}$đr

đr bạn

[perfectstrong]

Theo mình thì giả sử AC vuông góc với BD sau đó chứng minh luôn đúng theo pitago được $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD\leq \frac{AC^2+BD^2}{4}$

Vì sao lại "giả sử" mà không chứng minh?

Giả thiết đã cho tương đương với $BA^2-BC^2 = DA^2-DC^2 \, (1)$. Đây là điều kiện cần và đủ để có $BD \perp AC$.

Nếu ở THPT thì có thể dùng vector, còn ở THCS thì chiều đảo hiển nhiên đúng do Pythagore, còn chiều thuận thì như sau:

Hạ $BH, DK$ vuông góc với $AC$.

$(1) \Leftrightarrow HA^2 - HC^2 = KA^2 - KC^2 \, (2)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Ta có nhận xét như sau:

Mệnh đề

$HA < HC \Leftrightarrow M$ nằm giữa $H, C$.

Với nhận xét đó và $(2)$, ta sẽ tìm cách chứng minh $H \equiv K$.

TH1: $H \equiv M$. TH này dễ thấy $K \equiv M$.

TH2: $H$ thuộc tia $MA$. Từ $(2)$, ta có $KA < KC$, nên do Theorem, ta cũng có $M$ nằm giữa $K,C \, (*)$.

TH2.1: $H$ nằm giữa $A,M$.

$(2) \Rightarrow (KC - KA)(KC + KA) = (HC-HA)(HC + HA) = 2HM.AC \, (3)$

Nếu $A$ nằm giữa $K, C$ thì $(KC - KA)(KC + KA)= AC(KC + KA) > AC^2 > 2HM.AC$ (vì $2HM < 2AM=AC$): mâu thuẫn với $(2)$.

Nên $K$ nằm giữa $A, C$. Kết hợp với $(*)$, ta có $K$ nằm giữa $A,M$.

Do đó $(3) \Rightarrow 2KM.AC = 2HM.AC \Rightarrow KM = HM \Rightarrow K \equiv H$.

TH2.2: $A$ nằm giữa $H, M$

$(2) \Rightarrow (KC - KA)(KC + KA) = (HC-HA)(HC + HA) = 2AC.HM \, (4)$

Nếu $K$ nằm giữa $A,M$ thì $(KC-KA)(KC+KA)=2KM.AC < 2AC.HM$: mâu thuẫn với $(2)$. Nên $A$ nằm giữa $K, M$.

Từ đó $(2) \Rightarrow AC.2KM=2AC.HM \Rightarrow KM = HM \Rightarrow K \equiv H$.

TH3: $H$ thuộc tia $MC$. Tương tự với TH2.

Vậy, ta luôn có $K \equiv H$, đồng nghĩa với $BD \perp AC$ (đpcm).

[Khanh12321]

Vì sao lại "giả sử" mà không chứng minh?

Giả thiết đã cho tương đương với $BA^2-BC^2 = DA^2-DC^2 \, (1)$. Đây là điều kiện cần và đủ để có $BD \perp AC$.

Nếu ở THPT thì có thể dùng vector, còn ở THCS thì chiều đảo hiển nhiên đúng do Pythagore, còn chiều thuận thì như sau:

Hạ $BH, DK$ vuông góc với $AC$.

$(1) \Leftrightarrow HA^2 - HC^2 = KA^2 - KC^2 \, (2)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Ta có nhận xét như sau:

Mệnh đề

$HA < HC \Leftrightarrow M$ nằm giữa $H, C$.

Với nhận xét đó và $(2)$, ta sẽ tìm cách chứng minh $H \equiv K$.

TH1: $H \equiv M$. TH này dễ thấy $K \equiv M$.

TH2: $H$ thuộc tia $MA$. Từ $(2)$, ta có $KA < KC$, nên do Theorem, ta cũng có $M$ nằm giữa $K,C \, (*)$.

TH2.1: $H$ nằm giữa $A,M$.

$(2) \Rightarrow (KC - KA)(KC + KA) = (HC-HA)(HC + HA) = 2HM.AC \, (3)$

Nếu $A$ nằm giữa $K, C$ thì $(KC - KA)(KC + KA)= AC(KC + KA) > AC^2 > 2HM.AC$ (vì $2HM < 2AM=AC$): mâu thuẫn với $(2)$.

Nên $K$ nằm giữa $A, C$. Kết hợp với $(*)$, ta có $K$ nằm giữa $A,M$.

Do đó $(3) \Rightarrow 2KM.AC = 2HM.AC \Rightarrow KM = HM \Rightarrow K \equiv H$.

TH2.2: $A$ nằm giữa $H, M$

$(2) \Rightarrow (KC - KA)(KC + KA) = (HC-HA)(HC + HA) = 2AC.HM \, (4)$

Nếu $K$ nằm giữa $A,M$ thì $(KC-KA)(KC+KA)=2KM.AC < 2AC.HM$: mâu thuẫn với $(2)$. Nên $A$ nằm giữa $K, M$.

Từ đó $(2) \Rightarrow AC.2KM=2AC.HM \Rightarrow KM = HM \Rightarrow K \equiv H$.

TH3: $H$ thuộc tia $MC$. Tương tự với TH2.

Vậy, ta luôn có $K \equiv H$, đồng nghĩa với $BD \perp AC$ (đpcm).

Cách chứng minh của bạn rất hay, nhưng theo mình thì đối với những người học toán trình độ không quá giỏi thì lối chứng minh này rất khó để nghĩ ra.Thay vào đó, họ thường tư duy ngược lại bài toán.Theo yêu cầu của bài toán thì có thể biến đổi $\frac{AC^{2}+BD^{2}}{4}\geq \frac{AC.BD}{2}$(theo BĐT cauchy) và $\frac{AC.BD}{2}$ có thể bằng S_ABCD ,điều này đúng khi AC vuông góc với BD.Việc dựa vào giả thiết mà chứng minh AC vuông góc với BD là rất khó nên theo mình nghĩ việc giả sử rồi chứng minh luôn đúng sẽ tốt hơn(theo ý kiến cá nhân).Nhưng dù sao thì cảm ơn bạn đã đóp góp cho bài viết của mình

[perfectstrong]

Cách chứng minh của bạn rất hay, nhưng theo mình thì đối với những người học toán trình độ không quá giỏi thì lối chứng minh này rất khó để nghĩ ra.Thay vào đó, họ thường tư duy ngược lại bài toán.Theo yêu cầu của bài toán thì có thể biến đổi $\frac{AC^{2}+BD^{2}}{4}\geq \frac{AC.BD}{2}$(theo BĐT cauchy) và $\frac{AC.BD}{2}$ có thể bằng S_ABCD ,điều này đúng khi AC vuông góc với BD.Việc dựa vào giả thiết mà chứng minh AC vuông góc với BD là rất khó nên theo mình nghĩ việc giả sử rồi chứng minh luôn đúng sẽ tốt hơn(theo ý kiến cá nhân).Nhưng dù sao thì cảm ơn bạn đã đóp góp cho bài viết của mình

Phương pháp trùng là cách rất căn bản trong nhiều bài toán để chứng minh một đối tượng có nhiều tính chất.

Bạn sử dụng "giả sử" như vậy là sai phương pháp lý luận trong toán. Giờ cứ gặp "khó khăn" nào trong chứng minh là ta giả sử luôn điều đó đúng cho khỏe xác? Vậy thì chắc chẳng có giả thuyết nào trụ nổi trước phương pháp của bạn.

[Khanh12321]

Phương pháp trùng là cách rất căn bản trong nhiều bài toán để chứng minh một đối tượng có nhiều tính chất.

Bạn sử dụng "giả sử" như vậy là sai phương pháp lý luận trong toán. Giờ cứ gặp "khó khăn" nào trong chứng minh là ta giả sử luôn điều đó đúng cho khỏe xác? Vậy thì chắc chẳng có giả thuyết nào trụ nổi trước phương pháp của bạn.

 

Phương pháp trùng là cách rất căn bản trong nhiều bài toán để chứng minh một đối tượng có nhiều tính chất.

Bạn sử dụng "giả sử" như vậy là sai phương pháp lý luận trong toán. Giờ cứ gặp "khó khăn" nào trong chứng minh là ta giả sử luôn điều đó đúng cho khỏe xác? Vậy thì chắc chẳng có giả thuyết nào trụ nổi trước phương pháp của bạn.

Một bài toán thường có nhiều phương pháp để giải quyết, phương pháp của bạn có thể mình chưa được tiếp cận nhiều nên cũng không biết nó có hữu dụng không, mình cũng không phải là một người học giỏi toán hình cho lắm nên cũng cần phải học hỏi thêm nhiều điều để phát triển kĩ năng làm bài.Mình không có ý nói rằng mọi bài toán đều sử dụng "giả sử" nhằm chứng minh, chưa chắc một bài toán nào đó giả sử điều luôn đúng thì có thể chứng minh được, hơn hết bạn đâu thể khẳng định rằng việc giả sử rồi chứng minh nó đúng cho khỏe, mình tin rằng mỗi phương pháp đều có điểm mạnh yếu riêng của nó.Giả sử có thể giả sử kết luận sai và chứng minh nó vô lí hoặc giả sử kết luận đúng và chứng minh nó luôn đúng theo giải thiết,lý luận và dựa vào giả thiết để chứng minh kết luận,giả sử có thể khác lý luận nhưng về cơ bản là đều chứng minh kết luận là luôn đúng.Vấn đề ở đây là tuy theo trình độ và dạng bài cần chứng minh mà đưa ra phương pháp phải phù hợp, đối với mình thì bài toán này dùng giả sử sẽ dễ hơn lập luận thông thường(nếu bạn chỉ làm nó theo một cách và không thực sự muốn chinh phục toàn bộ bài toán)

[perfectstrong]

Một bài toán thường có nhiều phương pháp để giải quyết, phương pháp của bạn có thể mình chưa được tiếp cận nhiều nên cũng không biết nó có hữu dụng không, mình cũng không phải là một người học giỏi toán hình cho lắm nên cũng cần phải học hỏi thêm nhiều điều để phát triển kĩ năng làm bài.Mình không có ý nói rằng mọi bài toán đều sử dụng "giả sử" nhằm chứng minh, chưa chắc một bài toán nào đó giả sử điều luôn đúng thì có thể chứng minh được, hơn hết bạn đâu thể khẳng định rằng việc giả sử rồi chứng minh nó đúng cho khỏe, mình tin rằng mỗi phương pháp đều có điểm mạnh yếu riêng của nó.Giả sử có thể giả sử kết luận sai và chứng minh nó vô lí hoặc giả sử kết luận đúng và chứng minh nó luôn đúng theo giải thiết,lý luận và dựa vào giả thiết để chứng minh kết luận,giả sử có thể khác lý luận nhưng về cơ bản là đều chứng minh kết luận là luôn đúng.Vấn đề ở đây là tuy theo trình độ và dạng bài cần chứng minh mà đưa ra phương pháp phải phù hợp, đối với mình thì bài toán này dùng giả sử sẽ dễ hơn lập luận thông thường(nếu bạn chỉ làm nó theo một cách và không thực sự muốn chinh phục toàn bộ bài toán)

Cách bạn làm ở trên là bạn giả sử một giả thiết X nào đó, rồi suy ra đpcm. Vấn đề ở chỗ là giả thiết X được suy ra thế nào, chứng minh thế nào, phủ định thế nào, bạn lại không nói. Đấy mới là cái mình không đồng tình.

 

Cụ thể hơn, trong bài toán trên, bạn giả sử rằng $AC \perp BD$, rồi suy ra đpcm. Vậy giả sử này có mâu thuẫn với điều kiện $AB^2+CD^2=AD^2+CB^2$ không? Hay nó là hệ quả? Mình chứng minh rằng $AB^2 + CD^2 = AD^2 +CB^2 \Rightarrow AC \perp BD$, còn bạn thì giả sử luôn cái cấu hình ấy.

Bạn có chứng minh được không thể có cấu hình nào khác không?

[Khanh12321]

Cách bạn làm ở trên là bạn giả sử một giả thiết X nào đó, rồi suy ra đpcm. Vấn đề ở chỗ là giả thiết X được suy ra thế nào, chứng minh thế nào, phủ định thế nào, bạn lại không nói. Đấy mới là cái mình không đồng tình.

 

Cụ thể hơn, trong bài toán trên, bạn giả sử rằng $AC \perp BD$, rồi suy ra đpcm. Vậy giả sử này có mâu thuẫn với điều kiện $AB^2+CD^2=AD^2+CB^2$ không? Hay nó là hệ quả? Mình chứng minh rằng $AB^2 + CD^2 = AD^2 +CB^2 \Rightarrow AC \perp BD$, còn bạn thì giả sử luôn cái cấu hình ấy.

Bạn có chứng minh được không thể có cấu hình nào khác không?

Bạn nói cũng đúng, có lẽ mình hiểu sai cách làm rồi. Cách của mình là giả sử một giả thiết nào đó, trong khi giả sử thường là giả sử kết luận đúng hoặc kết luận không đúng(mình nhầm kết luận là AC vuông góc với BD).Cảm ơn bn nhé

[nonamebroy]

Có lẽ là mình đã sai và bài học rút ra là đường nên giả sử nhiều mà phải chứng minh.

[perfectstrong]

Có lẽ là mình đã sai và bài học rút ra là đường nên giả sử nhiều mà phải chứng minh.

Giả sử không phải xấu. Chỉ là bạn đã dừng "quá sớm". Bạn cảm giác được rằng nếu $AC \perp BD$ thì sẽ dẫn tới đpcm.

Giống như bạn đã có nửa cây cầu từ giữa sông tới đích. Giờ bạn chỉ còn thiếu nửa cây từ bờ này tới giữa sông.