Chủ đề này có 1 trả lời

[Duc3290]

Cho các số thực $x,y,a,b$ thỏa mãn $x^2-y^2=1$ và $\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a-b}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có

$$\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$$

[tomeps]

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

$\left(\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}\right)(a-b)=1$

$\Leftrightarrow x^4+y^4-\frac{b}{a}x^4-\frac{a}{b}y^4=1$

Mà: $(x^2-y^2)^2=x^4+y^4-2x^2y^2=1$, nên: $\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2$

$\Leftrightarrow (bx^2-ay^2)^2=0$

$\Leftrightarrow bx^2=ay^2$

Như vậy:

$\left(\frac{x^2}{a}\right)(a-b)=x^2-\frac{b}{a}x^2=x^2-y^2=1$. (theo giả thiết)

Tương tự: $\left(\frac{y^2}{b}\right)(a-b)=1$.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.