Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố
Lời giải tomeps, 12-05-2024 - 13:52
Cụ thể như sau:Xét đồng dư mod 5 là xong
Ta có: $p^2 - 3p + 7 \equiv p^2 - 3p + 2 (mod 5)$
$\equiv (p-1)(p-2) (mod 5)$
Lại có:
$p^2 - 7p + 17 \equiv p^2 - 7p + 12 (mod 5)$
$\equiv (p-3)(p-4) (mod 5)$
Dễ dàng phát hiện $p=5$ là một trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử: $p$ không chia hết cho 5, khi đó nhất định 1 trong 2 số $p^2 - 3p + 7$ và $p^2 - 7p + 17$ chia hết cho 5.
Mà, hai số này là số nguyên tố, nên một trong hai số này đúng bằng 5.
$TH1: p^2 - 3p + 7 = 5$
$\Rightarrow (p-1)(p-2)=0$
$\Rightarrow p=2$ (do $p$ là số nguyên tố)
$TH2: p^2 - 7p + 17 = 5$
$\Rightarrow (p-3)(p-4)=0$
$\Rightarrow p=3$ (do $p$ là số nguyên tố)
Thử lại, ta nhận các giá trị $p=2$ và $p=3$.
Từ đó, các giá trị $p=2$, $p=3$ và $p=5$ duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cảm ơn hướng đi của bạn ! Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 11-05-2024 - 14:45
#2
Đã gửi 12-05-2024 - 11:53
#3
Đã gửi 12-05-2024 - 13:52
Cụ thể như sau:Xét đồng dư mod 5 là xong
Ta có: $p^2 - 3p + 7 \equiv p^2 - 3p + 2 (mod 5)$
$\equiv (p-1)(p-2) (mod 5)$
Lại có:
$p^2 - 7p + 17 \equiv p^2 - 7p + 12 (mod 5)$
$\equiv (p-3)(p-4) (mod 5)$
Dễ dàng phát hiện $p=5$ là một trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử: $p$ không chia hết cho 5, khi đó nhất định 1 trong 2 số $p^2 - 3p + 7$ và $p^2 - 7p + 17$ chia hết cho 5.
Mà, hai số này là số nguyên tố, nên một trong hai số này đúng bằng 5.
$TH1: p^2 - 3p + 7 = 5$
$\Rightarrow (p-1)(p-2)=0$
$\Rightarrow p=2$ (do $p$ là số nguyên tố)
$TH2: p^2 - 7p + 17 = 5$
$\Rightarrow (p-3)(p-4)=0$
$\Rightarrow p=3$ (do $p$ là số nguyên tố)
Thử lại, ta nhận các giá trị $p=2$ và $p=3$.
Từ đó, các giá trị $p=2$, $p=3$ và $p=5$ duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cảm ơn hướng đi của bạn !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tomeps: 13-05-2024 - 02:40
- perfectstrong, tritanngo99, Baoriven và 4 người khác yêu thích
"Tôi sẽ không đi khom."
#4
Đã gửi 12-05-2024 - 22:17
#5
Đã gửi 12-05-2024 - 22:48
Cụ thể như sau:
Ta có: $p^2 - 3p + 7 \equiv p^2 - 3p + 2 (mod 5)$
$\equiv (p-1)(p-2) (mod 5)$
Lại có:
$p^2 - 7p + 17 \equiv p^2 - 7p + 12 (mod 5)$
$\equiv (p-3)(p-4) (mod 5)$
Như vậy, để $p^2 - 3p + 7$ và $p^2 - 7p + 12$ đồng thời là hai số nguyên tố, thì $p$ chia 5 phải có một số dư khác 1, 2, 3, 4; đồng nghĩa, $p$ chia hết cho 5.
Mà $p$ là một số nguyên tố, nên $p=5$.
Thử lại nhận thấy $p=5$ thỏa mãn, nên $p=5$ duy nhất thỏa mãn đề bài.
Cảm ơn hướng đi của bạn !
Bạn bị sai ở chỗ nếu chia hết cho 5 mà bằng 5 thì vẫn là số nguyên tố nhé
- tomeps yêu thích
#7
Đã gửi 13-05-2024 - 02:41
Lời giải phải sửa thành trong 2 số này luôn có 1 số chia hết cho 5 nên từ đó =5 và ta tìm $p$ và thử lại
Ồ, giờ mình mới nhận ra. Mình đã sửa lại lời giải cho phù hợp rồi. Cảm ơn bạn nhé !
"Tôi sẽ không đi khom."
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sohoc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $a,b$ là các số nguyên dương thoả mãn: $54^a=a^b$. Chứng minh rằng: $a$ là một luỹ thừa của $54$Bắt đầu bởi tritanngo99, Hôm nay, 14:30 sohoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $4n!-4n+1$ là số chính phươngBắt đầu bởi tritanngo99, Hôm qua, 07:32 sohoc |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng phương trình: $3y^2=x^4+x$ không có nghiệm nguyên dươngBắt đầu bởi tritanngo99, 21-05-2024 sohoc |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho các số nguyên dương $k,m,n$ thoả mãn: $m^2+n=k^2+k$. Chứng minh rằng: $m\le n$Bắt đầu bởi tritanngo99, 15-05-2024 sohoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $n^2+3$ chia hết cho $\phi(n)$Bắt đầu bởi tritanngo99, 13-05-2024 sohoc |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh