6 replies to this topic

[tritanngo99]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn $p^2-3p+7$ và $p^2-7p+17$ đều là số nguyên tố

[redlovesmaths]

Xét đồng dư mod 5 là xong

[tomeps]

Best Answer

Xét đồng dư mod 5 là xong

Cụ thể như sau:
Ta có: $p^2 - 3p + 7 \equiv p^2 - 3p + 2 (mod 5)$
$\equiv (p-1)(p-2) (mod 5)$
Lại có:
$p^2 - 7p + 17 \equiv p^2 - 7p + 12 (mod 5)$
$\equiv (p-3)(p-4) (mod 5)$
Dễ dàng phát hiện $p=5$ là một trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử: $p$ không chia hết cho 5, khi đó nhất định 1 trong 2 số $p^2 - 3p + 7$ và $p^2 - 7p + 17$ chia hết cho 5.
Mà, hai số này là số nguyên tố, nên một trong hai số này đúng bằng 5.
$TH1: p^2 - 3p + 7 = 5$
$\Rightarrow (p-1)(p-2)=0$
$\Rightarrow p=2$ (do $p$ là số nguyên tố)
$TH2: p^2 - 7p + 17 = 5$
$\Rightarrow (p-3)(p-4)=0$
$\Rightarrow p=3$ (do $p$ là số nguyên tố)
Thử lại, ta nhận các giá trị $p=2$ và $p=3$.
Từ đó, các giá trị $p=2$, $p=3$ và $p=5$ duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cảm ơn hướng đi của bạn !

Edited by tomeps, 13-05-2024 - 02:40.

[trandinhnghia]

hình như ra thiếu nghiệm p thì phải
p=3,p=2 thì vẫn thỏa mãn mà?

[dinhvu]

Cụ thể như sau:
Ta có: $p^2 - 3p + 7 \equiv p^2 - 3p + 2 (mod 5)$
$\equiv (p-1)(p-2) (mod 5)$
Lại có:
$p^2 - 7p + 17 \equiv p^2 - 7p + 12 (mod 5)$
$\equiv (p-3)(p-4) (mod 5)$
Như vậy, để $p^2 - 3p + 7$ và $p^2 - 7p + 12$ đồng thời là hai số nguyên tố, thì $p$ chia 5 phải có một số dư khác 1, 2, 3, 4; đồng nghĩa, $p$ chia hết cho 5.
Mà $p$ là một số nguyên tố, nên $p=5$.
Thử lại nhận thấy $p=5$ thỏa mãn, nên $p=5$ duy nhất thỏa mãn đề bài.
Cảm ơn hướng đi của bạn !

Bạn bị sai ở chỗ nếu chia hết cho 5 mà bằng 5 thì vẫn là số nguyên tố nhé

[dinhvu]

Lời giải phải sửa thành trong 2 số này luôn có 1 số chia hết cho 5 nên từ đó =5 và ta tìm $p$ và thử lại

[tomeps]

Lời giải phải sửa thành trong 2 số này luôn có 1 số chia hết cho 5 nên từ đó =5 và ta tìm $p$ và thử lại

Ồ, giờ mình mới nhận ra. Mình đã sửa lại lời giải cho phù hợp rồi. Cảm ơn bạn nhé !