Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$
#1
Đã gửi 23-05-2009 - 08:43
#2
Đã gửi 01-08-2012 - 17:17
TXD:$D=\mathbb{R}$
Tính đạo hàm
\begin{align}
y'&=\frac{2(x^2-x+1)-(2x-1).(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\
&=\frac{2x^2-2x+2-4x^2+4x-1}{(x^2-x+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+1}{(x^2-x+1)^2}\\
y''&=\frac{(-4x+2)(x^2-x+1)^2-2(x^2-x+1)(2x-1)(-2x^2+2x+1)}{(x^2-x+1)^4}\\
&=\frac{(4x-2)\left [ (x^2-x+1)-(-2x^2+2x+1) \right ]}{(x^2-x+1)^3}\\
&=\frac{(4x-2)(3x^2-3x)}{(x^2-x+1)^3}\\
\end{align}
Giải phương trình $y''=0$ để tìm hoành độ điểm uốn ta được các nghiệm :$x=0;x=1;x=\frac{1}{2}$
Vậy tọa độ các điểm uốn là $A(0;-1);B(1;1);C(\frac{1}{2};0)$.
Dễ thấy 3 điểm trên đều nằm trên đường thẳng $y=2x-1$
Suy ra đồ thị hàm số trên có 3 điểm uốn thẳng hàng
_________________
Bổ sung: để chắc chắn các điểm trên là 3 điểm uốn của đồ thị, ta chỉ cần xét dấu đạo hàm bậc hai của chúng.
Với $x <0\Rightarrow y''<0$ suy ra hàm số lõm ( dạng úp xuống dưới)
Với $x \in(0;\frac{1}{2})\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi ( ngửa lên trên)
Với $x\in (\frac{1}{2};1)\Rightarrow y''<0$ hàm số lõm( úp )
Với $x>1\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi (ngửa)
Tính đạo hàm
\begin{align}
y'&=\frac{2(x^2-x+1)-(2x-1).(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\
&=\frac{2x^2-2x+2-4x^2+4x-1}{(x^2-x+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+1}{(x^2-x+1)^2}\\
y''&=\frac{(-4x+2)(x^2-x+1)^2-2(x^2-x+1)(2x-1)(-2x^2+2x+1)}{(x^2-x+1)^4}\\
&=\frac{(4x-2)\left [ (x^2-x+1)-(-2x^2+2x+1) \right ]}{(x^2-x+1)^3}\\
&=\frac{(4x-2)(3x^2-3x)}{(x^2-x+1)^3}\\
\end{align}
Giải phương trình $y''=0$ để tìm hoành độ điểm uốn ta được các nghiệm :$x=0;x=1;x=\frac{1}{2}$
Vậy tọa độ các điểm uốn là $A(0;-1);B(1;1);C(\frac{1}{2};0)$.
Dễ thấy 3 điểm trên đều nằm trên đường thẳng $y=2x-1$
Suy ra đồ thị hàm số trên có 3 điểm uốn thẳng hàng
_________________
Bổ sung: để chắc chắn các điểm trên là 3 điểm uốn của đồ thị, ta chỉ cần xét dấu đạo hàm bậc hai của chúng.
Với $x <0\Rightarrow y''<0$ suy ra hàm số lõm ( dạng úp xuống dưới)
Với $x \in(0;\frac{1}{2})\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi ( ngửa lên trên)
Với $x\in (\frac{1}{2};1)\Rightarrow y''<0$ hàm số lõm( úp )
Với $x>1\Rightarrow y''>0$ hàm số lồi (ngửa)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 01-08-2012 - 18:22
- E. Galois, perfectstrong, hxthanh và 7 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 01-08-2012 - 18:50
$\fbox{Liên tưởng}$Một bài toán tổng quát dạng tương tự
CMR: Với mọi $a\in R$
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+a}{x^2+x+1}$ luôn có 3 điểm uốn thẳng hàng
Cách chứng minh:
CMR: Với mọi $a\in R$
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+a}{x^2+x+1}$ luôn có 3 điểm uốn thẳng hàng
Cách chứng minh:
File gửi kèm
- E. Galois, perfectstrong và tritanngo99 thích
Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Lượng giác →
Các bài toán Lượng giác khác →
Chứng minh rằng: $\sum\frac{1}{\sqrt{m_a}}\ge\sqrt{\dfrac{6}{R}}$Bắt đầu bởi anh_offline, 07-07-2008 psw |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh