1205 replies to this topic

[dogsteven]

cho a,b,c$\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm min 

P=$\frac{a+3}{b^{2}+1}+\frac{b+3}{c^{2}+1}+\frac{c+3}{a^{2}+1}$

$$\dfrac{a+3}{b^2+1}=a+3-\dfrac{b^2(a+3)}{b^2+1} \geqslant a+3-\dfrac{ab+3b}{2}$$

Tương tự.

[KemNgon]

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm giá trị lớn nhất của : A=xy+yz+xz

[Viet Hoang 99]

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=3

Tìm giá trị lớn nhất của : A=xy+yz+xz

$(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx)$  (Dùng biến đổi tương đương để chứng minh

$\Rightarrow xy+yz+zx\le 3$

[KemNgon]

Cho x,y>0 thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$

Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{2}\leq 2$. Dấu bằng xảy ra khi nào? 

[Lehalinhthcshb]

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{9}{a+b+c}$
Trích diễn đàn toán học

Bài này em đã làm rồi nhưng cứ luẩn quẩn một vòng nên đưa lên đây cho mn cùng xem qua

[LeVuDuyMinh]

B

[Le Thi Van Anh]

$$\dfrac{a+3}{b^2+1}=a+3-\dfrac{b^2(a+3)}{b^2+1} \geqslant a+3-\dfrac{ab+3b}{2}$$
Tương tự.

làm như bạn k ra đc kq, hơn nữa ở đây ta cần phải cẩn thận vì a,b,c chạy trên tập R thông thường sẽ có min=6 tuy nhiên với a=b=c=-1 thì đc giá trị là 3

[NguyenPhuongQuynh]

Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 11-01-2015 - 17:40.

[NguyenPhuongQuynh]

Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$

[dogsteven]

Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$

Đề thi Sóc Trăng năm nay phải không nhỉ.

 

$a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{8}{(a+b)^2}=\dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{1}{2(a+b)^2}+\dfrac{15}{2(a+b)^2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{4(a+b)^2}}+\dfrac{15}{2}=\dfrac{17}{2}$

[NguyenPhuongQuynh]

Các bạn giúp mình bài toán về bất đẳng thức nhé!

Cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 13-01-2015 - 20:10.

[NguyenPhuongQuynh]

Các bạn ơi giải giúp mình bài toán cực trị:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1.Chứng minh rằng 

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+}ac+\sqrt{c+ab}\leq 2$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 13-01-2015 - 13:06.

[NguyenPhuongQuynh]

Các bạn làm 1 bài toán về bất đẳng thức tiếp nhé!

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

[huykinhcan99]

Các bạn giúp mình bài toán về bất đẳng thức nhé!

Cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng :

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\geq \frac{1}{4}$

 

Bất đẳng thức của bạn bị ngược dấu

 

Theo $AM - GM$ dạng cộng mẫu:

$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+1}=\sum_{cyc} \frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\sum_{cyc} bc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} (\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} a=\frac{1}{4}$$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[NguyenPhuongQuynh]

Bất đẳng thức của bạn bị ngược dấu

 

Theo $AM - GM$ dạng cộng mẫu:

$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+1}=\sum_{cyc} \frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\sum_{cyc} bc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} (\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} a=\frac{1}{4}$$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cám ơn bạn nhiều! Mình xin lỗi nhé ~ Đề bài đúng là  $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 13-01-2015 - 18:36.

[Chung Anh]

Các bạn làm 1 bài toán về bất đẳng thức tiếp nhé!

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

*Bổ đề $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) $

Chứng minh:biến đổi tương đương

$BĐT\Leftrightarrow x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\geq 6xyz$ (đúng theo Cauchy 6 số)

Ta có $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}$

          $=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}+\frac{y}{y(x+y+z)+xz}+\frac{z}{z(x+y+z)+xy}$

          $=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}$

          $=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

          $=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4} $

Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3} $

[Chung Anh]

Các bạn ơi giải giúp mình bài toán cực trị:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1.Chứng minh rằng 

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+}ac+\sqrt{c+ab}\leq 2$

Áp dụng AM-GM dạng $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} $

Ta có $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}$

          $=\sqrt{a(a+b+c)+bc}+\sqrt{b(a+b+c)+ac}+\sqrt{c(a+b+c)+ab}$

          $=\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}$

          $\leq \frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}+\frac{c+a+c+b}{2}$

          $=\frac{4(a+b+c)}{2}=2 $

Dấu bằng xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3} $

[NguyenPhuongQuynh]

Các bạn ơi!Bài tập về bất đẳng thức hay và khó nè!Giải giúp mình nhé!

2 bài tập dạng tương tự nhau:

 Bài 1:Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}} \geq 3$

Edited by NguyenPhuongQuynh, 13-01-2015 - 20:05.

[NguyenPhuongQuynh]

*Bổ đề $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) $

Chứng minh:biến đổi tương đương

$BĐT\Leftrightarrow x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\geq 6xyz$ (đúng theo Cauchy 6 số)

Ta có $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}$

          $=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}+\frac{y}{y(x+y+z)+xz}+\frac{z}{z(x+y+z)+xy}$

          $=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}$

          $=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

          $=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4} $

Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3} $

Mình thấy cách làm của bạn rất hay !Bạn có thể chỉ cho mình biết sao bạn nghĩ ra cách làm này và số $\frac{8}{9}$ , và bổ đề cách giải để chứng minh không?

Mình rất muốn vận dụng thành thạo bài tập về BDT Cô-si 

[huykinhcan99]

Các bạn ơi!Bài tập về bất đẳng thức hay và khó nè!Giải giúp mình nhé!

2 bài tập dạng tương tự nhau:

 Bài 1:Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Bài 2:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :

$\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}} \geq 3$

 

Bài 1: Ta có:

\begin{equation} \label{eq:1} \tag{1.1} \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{a+ab^2}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a -\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) \end{equation}

Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$

Khi đó, ta có:

\begin{equation} \label{eq:2} \tag{1.2} \eqref{eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a-\dfrac{ab}{2}\right)= a+b+c -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3-\dfrac{ab+bc+ca}{2} \end{equation}

Dễ thấy $\sum_{cyc} (a-b)^2 \geqslant 0$, khai triển và thu gọn ta được $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow 9=(a+b+c)^2\geqslant 3\left(ab+bc+ca\right) \Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 3$

Kết hợp với \eqref{eq:2} ta nhận được

\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geqslant \frac{3}{2} \end{equation}

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Bài 2: Ta có:

\begin{equation} \label{2.eq:1} \tag{2.1} \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{(a+1)(1+b^2)}{1+b^2}-\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a+1 -\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) \end{equation}

Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$

Khi đó, ta có:

\begin{equation} \label{2.eq:2} \tag{2.2} \eqref{2.eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a+1-\dfrac{ab+b}{2}\right)= \dfrac{a+b+c}{2} +3 -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3+\dfrac{a+b+c-ab-bc-ca}{2} \end{equation}

Dễ thấy $\sum_{cyc} (a-b)^2 \geqslant 0$, khai triển và thu gọn ta được $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow 3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geqslant 3\left(ab+bc+ca\right) \Rightarrow a+b+c \geqslant ab+bc+ca$

Kết hợp với \eqref{2.eq:2} ta nhận được

\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geqslant 3 \end{equation}

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$