cho a,b,c$\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm min
P=$\frac{a+3}{b^{2}+1}+\frac{b+3}{c^{2}+1}+\frac{c+3}{a^{2}+1}$
$$\dfrac{a+3}{b^2+1}=a+3-\dfrac{b^2(a+3)}{b^2+1} \geqslant a+3-\dfrac{ab+3b}{2}$$
Tương tự.
cho a,b,c$\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm min
P=$\frac{a+3}{b^{2}+1}+\frac{b+3}{c^{2}+1}+\frac{c+3}{a^{2}+1}$
$$\dfrac{a+3}{b^2+1}=a+3-\dfrac{b^2(a+3)}{b^2+1} \geqslant a+3-\dfrac{ab+3b}{2}$$
Tương tự.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=3
Tìm giá trị lớn nhất của : A=xy+yz+xz
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=3
Tìm giá trị lớn nhất của : A=xy+yz+xz
$(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx)$ (Dùng biến đổi tương đương để chứng minh
$\Rightarrow xy+yz+zx\le 3$
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Cho x,y>0 thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}$
Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{2}\leq 2$. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
B
Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 11-01-2015 - 17:40
Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
Cho a>0,b>0,và a+b$\leq$1.Tìm GTNN của biểu thức A=$a^{2}$+$b^{2}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$
Đề thi Sóc Trăng năm nay phải không nhỉ.
$a^2+b^2+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{8}{(a+b)^2}=\dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{1}{2(a+b)^2}+\dfrac{15}{2(a+b)^2}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{4(a+b)^2}}+\dfrac{15}{2}=\dfrac{17}{2}$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Các bạn giúp mình bài toán về bất đẳng thức nhé!
Cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 13-01-2015 - 20:10
Các bạn ơi giải giúp mình bài toán cực trị:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1.Chứng minh rằng
$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+}ac+\sqrt{c+ab}\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 13-01-2015 - 13:06
Các bạn làm 1 bài toán về bất đẳng thức tiếp nhé!
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$
Các bạn giúp mình bài toán về bất đẳng thức nhé!
Cho a,b và c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\geq \frac{1}{4}$
Bất đẳng thức của bạn bị ngược dấu
Theo $AM - GM$ dạng cộng mẫu:
$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+1}=\sum_{cyc} \frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\sum_{cyc} bc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} (\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} a=\frac{1}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bất đẳng thức của bạn bị ngược dấu
Theo $AM - GM$ dạng cộng mẫu:
$$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+1}=\sum_{cyc} \frac{bc}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\sum_{cyc} bc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} (\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b})=\frac{1}{4}\sum_{cyc} a=\frac{1}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Cám ơn bạn nhiều! Mình xin lỗi nhé ~ Đề bài đúng là $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 13-01-2015 - 18:36
Các bạn làm 1 bài toán về bất đẳng thức tiếp nhé!
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$
*Bổ đề $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) $
Chứng minh:biến đổi tương đương
$BĐT\Leftrightarrow x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\geq 6xyz$ (đúng theo Cauchy 6 số)
Ta có $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}$
$=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}+\frac{y}{y(x+y+z)+xz}+\frac{z}{z(x+y+z)+xy}$
$=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}$
$=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4} $
Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3} $
Chung Anh
Các bạn ơi giải giúp mình bài toán cực trị:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1.Chứng minh rằng
$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+}ac+\sqrt{c+ab}\leq 2$
Áp dụng AM-GM dạng $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} $
Ta có $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}$
$=\sqrt{a(a+b+c)+bc}+\sqrt{b(a+b+c)+ac}+\sqrt{c(a+b+c)+ab}$
$=\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}$
$\leq \frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}+\frac{c+a+c+b}{2}$
$=\frac{4(a+b+c)}{2}=2 $
Dấu bằng xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3} $
Chung Anh
Các bạn ơi!Bài tập về bất đẳng thức hay và khó nè!Giải giúp mình nhé!
2 bài tập dạng tương tự nhau:
Bài 1:Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :
$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :
$\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}} \geq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 13-01-2015 - 20:05
*Bổ đề $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) $
Chứng minh:biến đổi tương đương
$BĐT\Leftrightarrow x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\geq 6xyz$ (đúng theo Cauchy 6 số)
Ta có $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}$
$=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}+\frac{y}{y(x+y+z)+xz}+\frac{z}{z(x+y+z)+xy}$
$=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}$
$=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
$=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4} $
Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3} $
Mình thấy cách làm của bạn rất hay !Bạn có thể chỉ cho mình biết sao bạn nghĩ ra cách làm này và số $\frac{8}{9}$ , và bổ đề cách giải để chứng minh không?
Mình rất muốn vận dụng thành thạo bài tập về BDT Cô-si
Các bạn ơi!Bài tập về bất đẳng thức hay và khó nè!Giải giúp mình nhé!
2 bài tập dạng tương tự nhau:
Bài 1:Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :
$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}$
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng :
$\frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}} \geq 3$
Bài 1: Ta có:
\begin{equation} \label{eq:1} \tag{1.1} \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{a+ab^2}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a -\dfrac{ab^2}{1+b^2}\right) \end{equation}
Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$
Khi đó, ta có:
\begin{equation} \label{eq:2} \tag{1.2} \eqref{eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a-\dfrac{ab}{2}\right)= a+b+c -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3-\dfrac{ab+bc+ca}{2} \end{equation}
Dễ thấy $\sum_{cyc} (a-b)^2 \geqslant 0$, khai triển và thu gọn ta được $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow 9=(a+b+c)^2\geqslant 3\left(ab+bc+ca\right) \Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 3$
Kết hợp với \eqref{eq:2} ta nhận được
\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geqslant \frac{3}{2} \end{equation}
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2: Ta có:
\begin{equation} \label{2.eq:1} \tag{2.1} \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2}=\sum_{cyc} \left(\dfrac{(a+1)(1+b^2)}{1+b^2}-\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) =\sum_{cyc} \left(a+1 -\dfrac{b^2(a+1)}{1+b^2}\right) \end{equation}
Theo $AM - GM$: $$1+a^2\geqslant 2a$$ $$1+b^2\geqslant 2b$$ $$1+c^2 \geqslant 2c$$
Khi đó, ta có:
\begin{equation} \label{2.eq:2} \tag{2.2} \eqref{2.eq:1} \Rightarrow \sum_{cyc} \dfrac{a+1}{1+b^2} \geqslant \sum_{cyc} \left(a+1-\dfrac{ab+b}{2}\right)= \dfrac{a+b+c}{2} +3 -\dfrac{ab+bc+ca}{2}=3+\dfrac{a+b+c-ab-bc-ca}{2} \end{equation}
Kết hợp với \eqref{2.eq:2} ta nhận được
\begin{equation} \tag{$\blacksquare$} \frac{a+1}{1+b^{2}}+\frac{b+1}{1+c^{2}}+\frac{c+1}{1+a^{2}}\geqslant 3 \end{equation}
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh