Chủ đề này có 1205 trả lời

[Ngoc Hung]

Các bạn giúp mình làm bài này nhé!

Cho 2 số dương a,b thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{b^{4}+a^{2}+2a^{2}b}$

 

Đặt $x=1+c;y=1+b;z=1+a\Rightarrow 1\leq z\leq y\leq x\leq 2$

Khi đó $Q=(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

$\left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1-\frac{x}{y}-\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$

$\left ( 1-\frac{z}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )+2$

Đặt $\frac{x}{z}=t\Rightarrow 1\leq t\leq 2\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{t}=\frac{2t^{2}-5t+2}{2t}+\frac{5}{2}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\Rightarrow Q\leq 10$

[npminhtri]

Mọi người giúp mình giải bài này được không, mình làm mãi mà không ra.

Cho $\large a^2+b^2+c^2=3$ và a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 A=$\large \frac{a^5}{b^3+c^2}+ \frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}$ $\large +a^4+b^4+c^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi npminhtri: 04-05-2015 - 16:49

[the man]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn : $x+y+z=2015$.

Chứng minh rằng:

$\sum \frac{2015x-x^2}{yz}+6\geq 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{\frac{2015-x}{x}}$

$VT=\sum \frac{(x+y+z)x-x^2}{yz}+6=\sum \left ( \frac{x}{y}+\frac{x}{z} \right )+6=t+6$  

    Với $t=\sum \left ( \frac{x}{y}+\frac{x}{z} \right )$

$VP=2\sqrt{2}.\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}}\leq 2\sqrt{2}.\sqrt{3(\sum \frac{y+z}{x})}=2\sqrt{6t}$

Như vậy ta cần chứng minh

   $t+6\geq 2\sqrt{6t}$   (điều này luôn đúng với bất đẳng thức cô-si)

[the man]

Giúp mình với 
Với a,b,c >0, chứng minh rằng
$\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} \geq 9 (\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a})-6$

$\sum \frac{1}{a^3}+6=\sum \left ( \frac{1}{a^3}+1+1 \right )\geq \sum \frac{3}{a}=\sum \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b} \right )\geq \sum \frac{9}{a+2b}\Rightarrow đpcm$

[VanHanie]

Các bạn giúp mình bài này nhé

Cho $x$, $y$ $>$$0$ thỏa mãn $x$+ $xy$+ $y$ $=$ $8$

Tìm GTNN của BT: P=$x^{3}$+$y^{3}$+ $x^{2}$+ $y^{2}$+ $5(x+y)$+ $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VanHanie: 05-05-2015 - 09:37

[the man]

Các bạn giúp mình bài này nhé

Cho $x$, $y$ $>$$0$ thỏa mãn $x$+ $xy$+ $y$ $=$ $8$

Tìm GTNN của BT: P=$x^{3}$+$y^{3}$+ $x^{2}$+ $y^{2}$+ $5(x+y)$+ $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$

$9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left ( \frac{x+y+2}{2} \right )^2\Rightarrow (x+y+2)^2\geq 36\Rightarrow x+y\geq 4$

$P+40=(x^3+8+8)+(y^3+8+8)+(x^2+4)+(y^2+4)+\frac{19}{4}(x+y)+\frac{1}{4}(x+y)+\frac{4}{x+y}\geq 12x+12y+4x+4y+\frac{19}{4}(x+y)+2\geq 12.4+4.4+\frac{19}{4}.4+2=85\Rightarrow P\geq 45$

$minP=45 \Leftrightarrow x=y=2$

[hoanglong2k]

Các bạn giúp mình bài này nhé

Cho $x$, $y$ $>$$0$ thỏa mãn $x$+ $xy$+ $y$ $=$ $8$

Tìm GTNN của BT: P=$x^{3}$+$y^{3}$+ $x^{2}$+ $y^{2}$+ $5(x+y)$+ $\frac{1}{x}$+ $\frac{1}{y}$

Ta có $8=x+y+xy\leq x+y+\frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x+y\geq 4$

 

Lại có $P=x^3+y^3+x^2+y^2+\frac{19}{4}.(x+y)+\frac{x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{y}{4}+\frac{1}{y}$

          $\geq \frac{(x+y)^3}{4}+\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{19}{4}.(x+y)+1+1\geq 16+8+19+2=45$

 

Vậy GTNN của P là 2 khi $x=y=2$

[HoangVienDuy]

Đặt $x=1+c;y=1+b;z=1+a\Rightarrow 1\leq z\leq y\leq x\leq 2$

Khi đó $Q=(x+y+z)\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )=3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$

$\left ( 1-\frac{x}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{z} \right )\geq 0\Leftrightarrow 1-\frac{x}{y}-\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leq \frac{x}{z}+1$

$\left ( 1-\frac{z}{y} \right )\left ( 1-\frac{y}{x} \right )\geq 0\Leftrightarrow \frac{z}{y}+\frac{y}{x}\leq \frac{z}{x}+1\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\leq 2\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )+2$

Đặt $\frac{x}{z}=t\Rightarrow 1\leq t\leq 2\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{z}{x}=t+\frac{1}{t}=\frac{2t^{2}-5t+2}{2t}+\frac{5}{2}=\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}+\frac{5}{2}\leq \frac{5}{2}\Rightarrow Q\leq 10$

không phức tạp như vậy đâu 

ta có a+b=2ab

áp dụng bđt cauchy ta$a^{4}+b^{2}\geq 2a^{2}b;a^{2}+b^{4}\geq 2ab^{2}$

nên $Q\leq \frac{1}{2ab(a+b)}+\frac{1}{2ab(a+b)}=\frac{1}{ab(a+b)}=\frac{2}{(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$

"=" khi a=b=1

[hoctrocuaZel]

không phức tạp như vậy đâu 

ta có a+b=2ab

áp dụng bđt cauchy ta$a^{4}+b^{2}\geq 2a^{2}b;a^{2}+b^{4}\geq 2ab^{2}$

nên $Q\leq \frac{1}{2ab(a+b)}+\frac{1}{2ab(a+b)}=\frac{1}{ab(a+b)}=\frac{2}{(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{2}$

"=" khi a=b=1

Anh đó copy nhầm bài toán sau: $1\leqslant a;b;c\leqslant 2\Rightarrow (a+b+c)(\sum \frac{1}{a})\leqslant 10$

[backieuphong]

Các bạn giải dùm bài này. Cho x,y > 0

Tìm min P = $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

[vu tuan yen phong]

cho a,b,c>0 và a+b+c=3

chứng minh rằng:$\sum (\frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}})$>=1,5

 

[bvd]

cho a,b,c>0 và a+b+c=3

chứng minh rằng:$\sum (\frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}})$>=1,5

$\sum (\frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}})\geqslant1,5=\frac{3}{2}\Leftarrow$

$ \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}} \geqslant \sum \frac{1}{2}a\Leftarrow$

$ \sum a(a^{2}+3b^{2})\geqslant \sum 2a^{3}\Leftarrow$

$ \sum a^{2}+3b^{2}\geqslant \sum 2a^{2}\Leftarrow$

$ \sum a^{2}\leqslant \sum 3b^{2}$

Không biết sai ở bước nào, vì nếu đúng thì đề bài nó phải như thế này!

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3

CMR: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+2b^{2}} \geqslant 1,5$

Kiểm tra lại với a=b=c=1 thì $VT = \frac{3}{4} \leqslant \frac{3}{2}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvd: 21-05-2015 - 17:41

[NguyenPhuongQuynh]

Các bạn giúp mình làm câu b bài về bất đẳng thức này nhé ! Câu b áp dụng câu a

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenPhuongQuynh: 21-05-2015 - 21:33

[backieuphong]

Các bạn giúp mình làm câu b bài về bất đẳng thức này nhé ! Câu b áp dụng câu a

b) $\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}=\frac{a({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})-{{a}^{2}}b-a{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}$

=$a-\frac{ab(a+b)}{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}\ge a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}$

Tương tự $\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}\ge b-\frac{b+c}{3}$; $\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+ac+{{a}^{2}}}\ge c-\frac{c+a}{3}$

Cộng lại ta được đpcm

[minmindkh]

có thể giúp mình bài này được k?

 

cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3a^{2} + 4b^{2} \leq 7c^{2} chứng minh \frac{3}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{7}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minmindkh: 24-05-2015 - 17:30

[hsNamHong]

Cho em hỏi tí:

Cho  a , b  là  các  số  thực  không  âm  thỏa  mãn  a^{2} + b^{2} = 1 .CMR: 1 \leqslant a + b$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hsNamHong: 24-05-2015 - 15:43

[hsNamHong]

$Cho a , b là các số thực ko âm thoả mãn a^{2} + b^{2} = 1. CMR : 1 \leqslant a + b$

cho e sửa lại

[vu tuan yen phong]

$\sum (\frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}})\geqslant1,5=\frac{3}{2}\Leftarrow$

$ \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+3b^{2}} \geqslant \sum \frac{1}{2}a\Leftarrow$

$ \sum a(a^{2}+3b^{2})\geqslant \sum 2a^{3}\Leftarrow$

$ \sum a^{2}+3b^{2}\geqslant \sum 2a^{2}\Leftarrow$

$ \sum a^{2}\leqslant \sum 3b^{2}$

Không biết sai ở bước nào, vì nếu đúng thì đề bài nó phải như thế này!

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3

CMR: $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+2b^{2}} \geqslant 1,5$

Kiểm tra lại với a=b=c=1 thì $VT = \frac{3}{4} \leqslant \frac{3}{2}$ 

 

[vu tuan yen phong]

công nhận.tớ sai rùi.chắc là 3/4 đó.bạn thử làm xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vu tuan yen phong: 26-05-2015 - 11:25

[teamloimeo2]

để ý kỹ thì cũng k đến nỗi nào, lâu rồi  không làm làm lại khó phết