Chủ đề này có 1205 trả lời

[manhhung2013]

Bài 1: Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

b) $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

[Mikhail Leptchinski]

Bài 1: Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

b) $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

a,

Ta có:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{2}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{1}{\frac{(a+b)^2}{2}}=4+2=6$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

b,Bạn tách với làm tương tự nhé

 

Lưu ý:Khi tách để ý dấu bằng xảy ra nhé!

[Chung Anh]

$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
 

Chứng minh các Bdt này như thế nào

[huykinhcan99]

 

$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
 

Chứng minh các Bdt này như thế nào

 

 

1, Chứng minh $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_m} \geqslant \dfrac{m^2}{a_1+a_2+\ldots+a_m}$ (với $a_i>0, \ i=\overline{1,n}$)

 

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ cho $m$ số không âm: $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_m$ ta có:

\begin{equation} \label{1} a_1+a_2+\ldots+a_m \geqslant m\sqrt[m]{a_1a_2\ldots a_m} \end{equation}

 

Lại áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ cho $m$ số không âm: $\dfrac{1}{a_1},\ \dfrac{1}{a_2},\ \ldots,\ \dfrac{1}{a_m}$ ta có:

\begin{equation} \label{2} \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_m} \geqslant m\sqrt[m]{\dfrac{1}{a_1a_2\ldots a_m}} \end{equation}

 

Nhân hai bất đẳng thức \eqref{1} và \eqref{2} ta có

\[\left(a_1+a_2+\ldots+a_m\right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_m}\right) \geqslant m^2\]

 

Từ đó ta có $\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\ldots+\dfrac{1}{a_m} \geqslant \dfrac{m^2}{a_1+a_2+\ldots+a_m} \ _\square$

 

2, Chứng minh $\dfrac{a^n+b^n}{2} \geqslant \left( \dfrac{a+b}{2}\right)^n$ (với $a+b\geqslant 0$ và $n \in \mathbb{N^*}$)

 

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ cho $\dfrac{a^n}{a^n+b^n}$ không âm và $n-1$ số không âm $\dfrac{1}{2}$  ta có

\[\dfrac{a^n}{a^n+b^n}+\underbrace{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{2}}_{n-1 \ \textrm{số}} \geqslant n\sqrt[n]{\dfrac{a^n}{\left(a^n+b^n\right)\underbrace{2.2 \ldots 2}_{n-1 \ \textrm{số}}}}\]

\begin{equation} \label{3} \Rightarrow \dfrac{a^n}{a^n+b^n}+\dfrac{n-1}{2} \geqslant n\dfrac{a}{\sqrt[n]{\left(a^n+b^n\right)2^{n-1}}} \end{equation}

Tương tự, ta có:

\begin{equation} \label{4} \dfrac{b^n}{a^n+b^n}+\dfrac{n-1}{2} \geqslant n\dfrac{b}{\sqrt[n]{\left(a^n+b^n\right)2^{n-1}}} \end{equation}

 

\begin{eqnarray} \eqref{3},\eqref{4} &\Rightarrow& \dfrac{a^n+b^n}{a^n+b^n}+\dfrac{2(n-1)}{2} \geqslant n\dfrac{a+b}{\sqrt[n]{\left(a^n+b^n\right)2^{n-1}}} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& \dfrac{a^n+b^n}{a^n+b^n}+\dfrac{2(n-1)}{2} \geqslant n\dfrac{a+b}{\sqrt[n]{\left(a^n+b^n\right)2^{n-1}}} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& n \geqslant n\dfrac{a+b}{\sqrt[n]{\dfrac{\left(a^n+b^n\right)2^n}{2}}} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& 1 \geqslant \dfrac{a+b}{2\sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n}{2}}.} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& 1 \geqslant \dfrac{\dfrac{a+b}{2}}{\sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n}{2}}} \nonumber \\ &\Leftrightarrow& \dfrac{a^n+b^n}{2}\geqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n \ _\square \nonumber \end{eqnarray}

 

p.s: tại sao đánh số các phương trình của mình không hiện lên bình thường nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 27-09-2014 - 23:35

[duypro154]

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cùa $x^2+y^2$ .Biết $x^2+y^2-xy=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 06-10-2014 - 00:25

[brianorosco]

$2(x^{2}-xy+y^{2})\geq x^{2}+y^{2}\geq \frac{2}{3}.(x^{2}-xy+y^{2})$$\Rightarrow 8\geq x^{2}+y^{2}\geq \frac{8}{3}$

[giathinhphan]

Giúp mình
Cho x,y là số thực thỏa x²-xy+y²=2
Tìm GTNN,GTLN =x²+xy+y²

[duc15042000]

1/ Tìm min:

    a, $x-\sqrt{x-2015}$

    b, $x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015$ với x,y>0

2/ Cho a,b,c>$\frac{9}{4}$. Tìm min P=$\frac{a}{2\sqrt{b+3}}+\frac{b}{2\sqrt{c}+3}+\frac{c}{2\sqrt{a}+3}$

3/ Cho x,y,z,t>0 thỏa mãn xy+4zt+2yz+2xt=9. Tìm max A=$\sqrt{xy}+2\sqrt{zt}$

4/ Cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y=$\frac{2015}{2014}$. Tìm min S=$\frac{2014}{x}+\frac{1}{2014y}$

5/ Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CM $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

6/ Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. CM $\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}$$\geq 2$

7/ Cho x,y>0 thỏa mãn x+y$\geq 5$. Tìm min P=$5x+4y+\frac{8}{x}+\frac{9}{y}$

[nhatdang2000]

cho a²+b²+ab+bc+ac<0

cm a²+b²<c²

[hoanglong2k]

 

5/ Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CM $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

 

Ta có : $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

Khi đó : $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

cm tương tự, cộng lại suy ra đpcm

[hoanglong2k]

Cho

 

1/ Tìm min:

    a, $x-\sqrt{x-2015}$

    b, $x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015$ với x,y>0

 

a/$A= x-\sqrt{x-2015}=x-2015-\sqrt{x-2015}+\frac{1}{4}-\frac{8059}{4}=(\sqrt{x-2015}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{8059}{4}\geq \frac{-8059}{4}$

vậy $Min_A=\frac{-8059}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x-2015}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2015\frac{1}{4}$

b/$B=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015\Rightarrow 3B=3x-6\sqrt{xy}+9y-6\sqrt{x}+6045$

$=x-6\sqrt{xy}+9y+2(x-3\sqrt{x}+\frac{9}{4})+6045-\frac{9}{2}=(\sqrt{x}-3\sqrt{y})^{2}+2(\sqrt{x}-\frac{3}{2})^{2}+6040,5\geq 6040,5 \Rightarrow B\geq 2013,5 \Rightarrow Min B=2013,5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=3\sqrt{y}\\ \sqrt{x}=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 22-12-2015 - 18:04

[huuhieuht]

Cho a,b>0 CMR:
 $(a+b)(a^{2}+2b-2)\geq9a(b-1)$

[blackdoor]

Nhờ các bạn giúp mình bài này:
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm MIN của P = ax²  + by² + cz² (với a, b, c >0).

[icanibelieve]

anh chị ơi giải dùm em bài này với

1/Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa:a+b+c+d=1.CMR:

                         $\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+cd}+\frac{1}{1+d+da}> 1$

2/cho a,b,c là các số thực dương.CMR:

                          $1<\frac{a^2}{a^2+bc}+\frac{b^2}{b^2+ca}+\frac{c^2}{c^2+ab}< 2$

[Chung Anh]

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cùa $x^2+y^2$ .Biết $x^2+y^2-xy=4$

$4=x^2+y^2-xy\geq \frac{x^2+y^2}{2}\Rightarrow 8\geq x^2+y^2$.

[rainbow99]

Tìm GTNN của M biết:

M=$M=a+\frac{1}{a}$                 ($a\geq 2$)

loại này nên dùng phương pháp điểm rơi

[le_hoang1995]

Nhờ các bạn giúp mình bài này:
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm MIN của P = ax²  + by² + cz² (với a, b, c >0).

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được

$(ax^2+by^2+cz^2)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq (x+y+z)^2=1$
$\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2\geq \frac{abc}{ab+bc+ca}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x+y+z=1$ và $ax=by=cz$

Đặt $ax=by=cz=t$, thay vào $x+y+z=1$, ta được

$t.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=1$
$\Rightarrow t=\frac{abc}{ab+bc+ca}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{bc}{ab+bc+ca}\\ y=\frac{ca}{ab+bc+ca}
\\z=\frac{ab}{ab+bc+ca}

\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 29-11-2014 - 21:09

[Chung Anh]

 

7/ Cho x,y>0 thỏa mãn x+y$\geq 5$. Tìm min P=$5x+4y+\frac{8}{x}+\frac{9}{y}$

$P=3x+3y+(2x+\frac{8}{x})+(y+\frac{9}{y} \geq 3(x+y) +2 \sqrt{2x.\frac{8}{x}}+2\sqrt{y.\frac{9}y{}}=29$

Dấu bằng xảy ra <=> x=2;y=3

[nguyen9bvn]

Giúp tôi bài này với.

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn ab+ac+bc=abc. Tìm GTLN của biểu thức a/bc(a+1) + b/ca(b+1) + c/ab(c+1)

[Le Thi Van Anh]

cho a,b,c$\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm min 

P=$\frac{a+3}{b^{2}+1}+\frac{b+3}{c^{2}+1}+\frac{c+3}{a^{2}+1}$