Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
Ta có:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$
$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$
Ta có:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$
$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$
Ta có:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$
$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$
$\sum{\frac{x}{x+1}}=\sum{\frac{x}{x+y+x+z}} \leq \frac{1}{4}\sum{(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})}=\frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 14-03-2017 - 22:32
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
$\sum{\frac{x}{x+1}}=\sum{\frac{x}{x+y+x+z}} \leq \frac{1}{4}\sum{(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})}=\frac{3}{4}$
Cách này có vẻ dài hơn cách của mình
Cho x,y,z>0.CMR $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$
Cho x,y,z>0.CMR $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$
Đây là 1 bài quen thuộc: APMO 1998.
$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
Theo bất đẳng thức AM GM:
$3\sum \frac{x}{y}=\sum \left ( \frac{2x}{y}+\frac{y}{z} \right )\geq 3\sum \frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\Rightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \frac{x y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
Suy ra đpcm
Cho a,b,c,d $\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ .
GTLN ab+ac+ca+3ad
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Maths2017: 30-03-2017 - 20:08
cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :
$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$
$\sqrt{MF}$
Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{4}$ .Chứng minh rằng
$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+10(xy+yz+xz)+2(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z})\geq 9$
Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarzt$ thì ta được: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y} \geq \frac{9}{4(x+y+z)}=3$
$\Rightarrow 2(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y})\geq 6$ $(1)$
Lại có $6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+10(xy+yz+zx)=5(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 5(x+y+z)^{2}+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 3$ $(2)$
Cộng $(2)$ với $(1)$ thì được điều $ĐPCM$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 30-03-2017 - 20:07
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :
$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$
Đặt $(a+b-c;b+c-a;c+a-b)=(x;y;z) \Rightarrow \frac{x+y}{2}=b; \frac{y+z}{2}=c ;\frac{x+z}{2}=a$
Suy ra $BĐT \Leftrightarrow \frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+x)(z+y)}{4z} \geq x+y+z$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}] \geq x+y+z$ $(*)$
Áp dụng bđt thân quen ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$ $(1)$
Ap dụng bđt $Cauchy-Schwazt$ thì ta được $\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)} \geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}$ $(2)$
Nhân $(1)$ với $(2)$ thì ta được $(x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}]\geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=x+y+z$ suy ra $(*)$ đúng $\Rightarrow ĐPCM$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 30-03-2017 - 20:27
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh:
$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$
Cho ba số dương a,b,c thỏa $a+b+c\leq k$ thì $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq (1+\frac{3}{k})^3$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh:
$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$
Cho ba số dương a,b,c thỏa $a+b+c\leq k$ thì $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq (1+\frac{3}{k})^3$
Câu đầu đồng quy biểu thức ,,,ta cần chứng minh $ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$ đúng theo AM-GM
Câu sau ta dùng holder với AM-GM ta có $\prod (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{a})\geq (1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})^3\geq (1+\frac{3}{a+b+c})^3\geq (1+\frac{3}{k})^3$
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$
Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Flash: 04-04-2017 - 11:23
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$
Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$
Ta có:
$A=\sum a(a^{2}+b^{2})=\sum ab(a+b)=pq-3r\leq pq-\frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{5pq+p^{3}}{9}\leq \frac{\frac{5}{3}p^{3}+p^{3}}{9}=\frac{8}{27}p^{3}=\frac{8}{27}$
Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
P/s: Tham khảo cách đặt $p,q,r$ tại đây
Sorry bác; làm nhầm rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 05-04-2017 - 11:36
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1.CM $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 05479865132: 08-04-2017 - 21:09
Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1.CM $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$
Ta có $\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geq \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\geq \frac{4bc}{2a^2+b^2+c^2}=\frac{4bc}{a^2+1}$
Làm tương tự rồi cộng 3 vế lại ta có đpcm !
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
Đặt $(a+b-c;b+c-a;c+a-b)=(x;y;z) \Rightarrow \frac{x+y}{2}=b; \frac{y+z}{2}=c ;\frac{x+z}{2}=a$
Suy ra $BĐT \Leftrightarrow \frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+x)(z+y)}{4z} \geq x+y+z$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}] \geq x+y+z$ $(*)$
Áp dụng bđt thân quen ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$ $(1)$
Ap dụng bđt $Cauchy-Schwazt$ thì ta được $\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)} \geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}$ $(2)$
Nhân $(1)$ với $(2)$ thì ta được $(x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}]\geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=x+y+z$ suy ra $(*)$ đúng $\Rightarrow ĐPCM$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.
liệu a, b, c thực thì có đúng k bạn
AQ02
cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :
$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$
với (a,b,c)= (-2,-3,4) thì BĐT sai
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :
$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$
Đề ra cho là sai $a,b,c\ge 0$ mới đúng
Mình nghĩ nên có thêm điều kiện a,b,c là 3 cạnh tam giác sẽ đúng hơn ,,bởi nếu a=1,b=2,c=4 thì bất đẳng thức sai
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
1. Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x2 +y2 +z2=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz
3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a2+2b2+3c2
4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$
Don't let your dreams just be dreams!!!
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh