Chủ đề này có 1205 trả lời

[kienvuhoang]

Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Ta có:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$

[NHoang1608]

Ta có:$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}$

$\sum{\frac{x}{x+1}}=\sum{\frac{x}{x+y+x+z}} \leq \frac{1}{4}\sum{(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})}=\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 14-03-2017 - 22:32

[kienvuhoang]

$\sum{\frac{x}{x+1}}=\sum{\frac{x}{x+y+x+z}} \leq \frac{1}{4}\sum{(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})}=\frac{3}{4}$

Cách này có vẻ dài hơn cách của mình

[05479865132]

Cho x,y,z>0.CMR $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

[Nguyenphuctang]

Cho x,y,z>0.CMR $(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

Đây là 1 bài quen thuộc: APMO 1998.

$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

Theo bất đẳng thức AM GM:

$3\sum \frac{x}{y}=\sum \left ( \frac{2x}{y}+\frac{y}{z} \right )\geq 3\sum \frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\Rightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \frac{x y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$

Suy ra đpcm

[Maths2017]

Cho a,b,c,d $\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ .
GTLN ab+ac+ca+3ad

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Maths2017: 30-03-2017 - 20:08

[dat102]

cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :

$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$

[NHoang1608]

Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{4}$ .Chứng minh rằng

$6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+10(xy+yz+xz)+2(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z})\geq 9$

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarzt$ thì ta được: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y} \geq \frac{9}{4(x+y+z)}=3$

                                                                        $\Rightarrow 2(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y})\geq 6$ $(1)$

Lại có $6(x^{2}+y^{2}+z^{2})+10(xy+yz+zx)=5(x+y+z)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq 5(x+y+z)^{2}+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}= 3$ $(2)$

Cộng $(2)$ với $(1)$ thì được điều $ĐPCM$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 30-03-2017 - 20:07

[NHoang1608]

cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :

$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$

Đặt $(a+b-c;b+c-a;c+a-b)=(x;y;z) \Rightarrow \frac{x+y}{2}=b; \frac{y+z}{2}=c ;\frac{x+z}{2}=a$

Suy ra $BĐT \Leftrightarrow \frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+x)(z+y)}{4z} \geq x+y+z$

                    $\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}] \geq x+y+z$ $(*)$

Áp dụng bđt thân quen ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$ $(1)$

Ap dụng bđt $Cauchy-Schwazt$ thì ta được $\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)} \geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}$ $(2)$

Nhân $(1)$ với $(2)$ thì ta được $(x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}]\geq  \frac{9}{8(xy+yz+zx)}.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=x+y+z$ suy ra $(*)$ đúng $\Rightarrow ĐPCM$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 30-03-2017 - 20:27

[05479865132]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa $a+b+c\leq k$ thì $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq (1+\frac{3}{k})^3$

[viet9a14124869]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa $a+b+c\leq k$ thì $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq (1+\frac{3}{k})^3$

Câu đầu đồng quy biểu thức ,,,ta cần chứng minh $ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$ đúng theo AM-GM

Câu sau ta dùng holder với AM-GM ta có $\prod (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{a})\geq (1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}})^3\geq (1+\frac{3}{a+b+c})^3\geq (1+\frac{3}{k})^3$

[The Flash]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Flash: 04-04-2017 - 11:23

[NTMFlashNo1]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm GTLN của $A=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)$

Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r$

Ta có:

$A=\sum a(a^{2}+b^{2})=\sum ab(a+b)=pq-3r\leq pq-\frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{5pq+p^{3}}{9}\leq \frac{\frac{5}{3}p^{3}+p^{3}}{9}=\frac{8}{27}p^{3}=\frac{8}{27}$

Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

 

 

P/s: Tham khảo cách đặt $p,q,r$ tại đây

 

 

Sorry bác; làm nhầm rồi

File gửi kèm

•  pqr_schur_vothanhvan.pdf.pdf   527.62K   78 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 05-04-2017 - 11:36

[05479865132]

Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1.CM $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 05479865132: 08-04-2017 - 21:09

[viet9a14124869]

Cho a,b,c>0 và a^2+b^2+c^2=1.CM $\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leqslant \frac{3}{4}$

Ta có $\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geq \frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\geq \frac{4bc}{2a^2+b^2+c^2}=\frac{4bc}{a^2+1}$

Làm tương tự rồi cộng 3 vế lại ta có đpcm !

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[AnhTran2911]

 

 

Đặt $(a+b-c;b+c-a;c+a-b)=(x;y;z) \Rightarrow \frac{x+y}{2}=b; \frac{y+z}{2}=c ;\frac{x+z}{2}=a$

Suy ra $BĐT \Leftrightarrow \frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+x)(z+y)}{4z} \geq x+y+z$

                    $\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}] \geq x+y+z$ $(*)$

Áp dụng bđt thân quen ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$ $(1)$

Ap dụng bđt $Cauchy-Schwazt$ thì ta được $\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)} \geq \frac{9}{8(xy+yz+zx)}$ $(2)$

Nhân $(1)$ với $(2)$ thì ta được $(x+y)(y+z)(z+x)[\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{1}{4y(x+z)}+\frac{1}{4z(x+y)}]\geq  \frac{9}{8(xy+yz+zx)}.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=x+y+z$ suy ra $(*)$ đúng $\Rightarrow ĐPCM$.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

liệu a, b, c thực thì có đúng k bạn

[TrBaoChis]

cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :

$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$

với (a,b,c)= (-2,-3,4) thì BĐT sai 

[NHoang1608]

Đề ra cho là sai $a,b,c\ge 0$ mới đúng

[viet9a14124869]

cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh :

$$\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ca}{c+a-b}\ge a+b+c$$

 

Đề ra cho là sai $a,b,c\ge 0$ mới đúng

Mình nghĩ nên có thêm điều kiện a,b,c là 3 cạnh tam giác sẽ đúng hơn ,,bởi nếu a=1,b=2,c=4 thì bất đẳng thức sai

[haccau]

1. Cho 3 số dương a,b,c. CMR: $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

2. Cho các só thực x,y, z thỏa mãn điều kiện: x² +y² +z²=1. Tìm GTLN của A=xy+yz+2xz

3. Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [-2;5] tm: a+2b+3c$\leq$2. Tìm GTLN: a²+2b²+3c²

4. Cho a,b,c>0 tm: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=1. CMR:$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^{2}}{b+ca}+\frac{c^{2}}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$