Chủ đề này có 1205 trả lời

[DarkBlood]

Hình như không có số thứ tự ! Mình post luôn : 

Cho $a ,b,c > 0$ CMR :

a, $(a+\frac{b}{ac})(b+\frac{c}{ba})(c+\frac{a}{bc})\geq 8$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$a+\frac{b}{ac}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{ac}}=2\sqrt{\frac{b}{c}}$

Tương tự: 

$b+\frac{c}{ab}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$

$c+\frac{a}{bc}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}$

Nhân vế theo vế, ta được:

$\left ( a+\frac{b}{ac} \right )\left ( b+\frac{c}{ba} \right )\left ( c+\frac{a}{bc} \right )\geq 8\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{a}.\frac{a}{b}}=8$

 

Hình như không có số thứ tự ! Mình post luôn : 

Cho $a ,b,c > 0$ CMR :

b, $\frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$ .

Cách 1: Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:

$\frac{a^{2}}{b+c}+ \frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(b+c+c+a+a+b)}=\frac{a+b+c}{2}$

 

Cách 2:

Ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}=\frac{(2a)^2+(b+c)^2}{4(b+c)}\geq\frac{4a(b+c)}{4(b+c)}=a$

Tương tự:

$\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\geq b$

$\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq c$

Cộng vế theo vế, rút gọn ta được đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 01-04-2013 - 23:50

[eatchuoi19999]

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $xy\geqslant 2$. Chứng minh:

$(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant 8$

[Trang Luong]

Không biết có đúng không nữa

Đưa bài toán về một biến như sau:

$A=\dfrac{3x^2+4}{4x}+\dfrac{2+(4-x)^3}{(4-x)^2}$

$=\dfrac{(x-2)^2(16+2x-x^2)}{4(x-4)^2x}+\dfrac{9}{2} \ge \dfrac{9}{2}$

Ta có $16+2x-x^2 >0$

$\Longleftrightarrow 0 < x <1+\sqrt{15}$

$\Longrightarrow 16+2x-x^2 >0$

Như vậy ta đã có được GTNN của $A$

Mình có cách khác: áp dụng BĐT AM-GM

$A=\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^{2}}+y=\left ( \frac{x}{4}+\frac{1}{x} \right )+\left ( \frac{2}{y^{2}}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4} \right )+\frac{x+y}{2}\geq 1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=2$

[4869msnssk]

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $xy\geqslant 2$. Chứng minh:

$(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant 8$

áp dụng BDT bunhiacopxki cho 2 dãy số ($x-2$,$y+2$)và (1,1) ta có :$((x-2)^{2}+(y+2)^{2})(1+1)\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq (2\sqrt{xy})^{2}=8$

[Trang Luong]

áp dụng BDT bunhiacopxki cho 2 dãy số ($x-2$,$y+2$)và (1,1) ta có :$((x-2)^{2}+(y+2)^{2})(1+1)\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq (2\sqrt{xy})^{2}=8$

Dấu = xảy ra khi nào hả bạn

[Trang Luong]

áp dụng BDT bunhiacopxki cho 2 dãy số ($x-2$,$y+2$)và (1,1) ta có :$((x-2)^{2}+(y+2)^{2})(1+1)\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq (2\sqrt{xy})^{2}=8$

Làm theo cách của bạn thì  ($x-2$,$y+2$)và (1,1) ta có :$((x-2)^{2}+(y+2)^{2})(1+1)\geq \left ( x+y \right )^{2}\geq (2\sqrt{xy})^{2}=8$ thì $(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geq 4$ sai rùi

[4869msnssk]

khi y=$\sqrt{3}-1$

[Trang Luong]

khi y=$\sqrt{3}-1$

Vẫn sai khi bạn Cosi $\left ( x+y \right )^{2}\geq 4xy$ vì khi đó $x = y$

[mathpro9x]

cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:x²+y²+z²\leq3 .Tìm min của biểu thức:P\geq \frac{1}{1+xy} + \frac{1}{1+yz} + \frac{1}{1+xz}
ai giúp em bài này với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathpro9x: 07-04-2013 - 13:55

[DarkBlood]

cho 3 số dương $x,\ y,\ z$ thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2 \leq3$ .Tìm min của biểu thức: $P=\frac{1}{1+xy} + \frac{1}{1+yz} + \frac{1}{1+xz}$
ai giúp em bài này với

Chắc đề như trên đúng không bạn?

Nếu thế giải như sau:

Ta có:

$x^2+y^2+z^2\leq 3$ mà $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ nên $xy+yz+zx\leq 3$

 

Áp dụng BĐT $Schwar,$ ta có:

$P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\geq \frac{9}{3+xy+yz+zx}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=3\\ x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\\ \frac{1}{1+xy}=\frac{1}{1+yz}=\frac{1}{1+zx} \end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \ x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 07-04-2013 - 14:17

[andymurray44]

cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:x²+y²+z²\leq3 .Tìm min của biểu thức:P\geq \frac{1}{1+xy} + \frac{1}{1+yz} + \frac{1}{1+xz}
ai giúp em bài này với

Đánh lại kí hiệu đi bạn.

[4869msnssk]

CMR $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{c}{b}$

[4869msnssk]

tìm min $\frac{2}{-4x^{2}+8x-5}$

[Strygwyr]

CMR $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{c}{b}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}\geq\frac{2a}{c}$

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi công lại, ta được : $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

[Strygwyr]

tìm min $\frac{2}{-4x^{2}+8x-5}$

Ta có :

$-4x^{2}+8x-5=-1-(4x^{2}-8x+4)=-1-4(x-1)^{2}\leq -1$

$\Rightarrow \frac{2}{-4x^{2}+8x-5}\geq\frac{2}{-1}=-2$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ x=1

p/s : lần sau bạn đừng post những bài như thế này nữa, loãng topic lắm, chỉ nên post những bài hay, khó, mà mình không làm được thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 08-04-2013 - 18:26

[4869msnssk]

cho $x+y+z=1$, tìm min Q=$\frac{x+y}{xyz}$

[vutuanhien]

cho $x+y+z=1$, tìm min Q=$\frac{x+y}{xyz}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $(x+y)^2\geq 4xy=4(x+y+z)^2.xy\geq 16(x+y)xyz\Rightarrow x+y\geq 16xyz\Rightarrow Q\geq 16$

[4869msnssk]

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác vuông ( c là cạnh huyền) . cmr: $a^{n}+b^{n}\leq c^{n}$ (n là số tự nhiên lớn hơn 2 )

[4869msnssk]

cmr với mọi số nguyên dương n:

$2\sqrt{2}+2\sqrt{4}+...+2\sqrt{2n-2}+2\sqrt{2n}< 2\sqrt{1}+2\sqrt{3}+...+2\sqrt{2n-1}$

[4869msnssk]

cmr với các số a,b,c dương $\sum \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a}$