Chủ đề này có 6 trả lời

[dark templar]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:$8(a^2+b^2+c^2)=13(ab+bc+ca)$.TÌm GTLN và GTNN của:
$$U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$

[DBSK]

Bạn có thể post lời giải bài này cho mình và mọi người mở mang tầm mắt không?

[Nguyễn Hưng]

Gợi ý giải bài này nhé

Không giảm tổng quát có thể giả sử $ab+bc+ca=\dfrac{29}{2}$ (?! - các bạn thử giải thích tại sao lại giả sử được nhé ) $ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{29}}{4}$

Ta viết lại biểu thức đã cho:
\[U = \dfrac{{4205 - 192abc}}{{10933}}\]
Đây là một hàm bậc nhất theo $abc$. Việc tìm min, max cho $U$ cũng chính là tìm min max cho $abc$. Rõ ràng công cụ hàm số giải quyết khá dễ dàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 17-12-2011 - 21:51

[PSW]

Cắm dùi ; đấu thầu giải quyết bài này !

[Nesbit]

Những bài dạng trên về lí thuyết đều có cách đưa về hàm một biến.

Bài trên thì thuộc loại dễ bởi vì biểu thức của U là thuần nhất bậc 0 nên có thể thêm giả thiết. Và tất nhiên bài này đối với PSW chỉ là chuyện nhỏ

Nếu thay U bằng một biểu thức khác, ví dụ $U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$, thì bạn Nguyễn Hưng làm thế nào nhỉ?

[Nguyễn Hưng]

Những bài dạng trên về lí thuyết đều có cách đưa về hàm một biến.

Bài trên thì thuộc loại dễ bởi vì biểu thức của U là thuần nhất bậc 0 nên có thể thêm giả thiết. Và tất nhiên bài này đối với PSW chỉ là chuyện nhỏ

Nếu thay U bằng một biểu thức khác, ví dụ $U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$, thì bạn Nguyễn Hưng làm thế nào nhỉ?

Em nghĩ thế này

Giả sử $(a,b,c)$ là một bộ số thỏa mãn điều kiện ban đầu. Khi đó $(ka,kb,kc)$ ($k \ne 0$) cũng thỏa mãn điều kiện.

Giờ ta thử khảo sát
\[U\left( k \right) = \dfrac{{k\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
(vì $a,b,c$ đã cố định, $k \ne 0$)

Khi cho $k \to \pm \infty $ thì tương ứng $U\left( k \right) \to \pm \infty $, nghĩa là không tồn tại GTLN, GTNN.

Vậy để bài toán có ý nghĩa thì nhất thiết biểu thức của nó phải thuần nhất bậc 0.

[Nesbit]

Oái, đúng vậy Anh già nên lẩm cẩm mất rồi