GTLN-GTNN 6.
Bắt đầu bởi dark templar, 08-10-2011 - 18:48
#1
Đã gửi 08-10-2011 - 18:48
Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:$8(a^2+b^2+c^2)=13(ab+bc+ca)$.TÌm GTLN và GTNN của:
$$U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$
$$U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 11-12-2011 - 21:56
Bạn có thể post lời giải bài này cho mình và mọi người mở mang tầm mắt không?
#3
Đã gửi 17-12-2011 - 21:50
Gợi ý giải bài này nhé
Không giảm tổng quát có thể giả sử $ab+bc+ca=\dfrac{29}{2}$ (?! - các bạn thử giải thích tại sao lại giả sử được nhé ) $ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{29}}{4}$
Ta viết lại biểu thức đã cho:
\[U = \dfrac{{4205 - 192abc}}{{10933}}\]
Đây là một hàm bậc nhất theo $abc$. Việc tìm min, max cho $U$ cũng chính là tìm min max cho $abc$. Rõ ràng công cụ hàm số giải quyết khá dễ dàng.
Không giảm tổng quát có thể giả sử $ab+bc+ca=\dfrac{29}{2}$ (?! - các bạn thử giải thích tại sao lại giả sử được nhé ) $ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{29}}{4}$
Ta viết lại biểu thức đã cho:
\[U = \dfrac{{4205 - 192abc}}{{10933}}\]
Đây là một hàm bậc nhất theo $abc$. Việc tìm min, max cho $U$ cũng chính là tìm min max cho $abc$. Rõ ràng công cụ hàm số giải quyết khá dễ dàng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 17-12-2011 - 21:51
#5
Đã gửi 19-12-2011 - 00:11
Những bài dạng trên về lí thuyết đều có cách đưa về hàm một biến.
Bài trên thì thuộc loại dễ bởi vì biểu thức của U là thuần nhất bậc 0 nên có thể thêm giả thiết. Và tất nhiên bài này đối với PSW chỉ là chuyện nhỏ
Nếu thay U bằng một biểu thức khác, ví dụ $U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$, thì bạn Nguyễn Hưng làm thế nào nhỉ?
Bài trên thì thuộc loại dễ bởi vì biểu thức của U là thuần nhất bậc 0 nên có thể thêm giả thiết. Và tất nhiên bài này đối với PSW chỉ là chuyện nhỏ
Nếu thay U bằng một biểu thức khác, ví dụ $U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$, thì bạn Nguyễn Hưng làm thế nào nhỉ?
#6
Đã gửi 20-12-2011 - 11:28
Em nghĩ thế nàyNhững bài dạng trên về lí thuyết đều có cách đưa về hàm một biến.
Bài trên thì thuộc loại dễ bởi vì biểu thức của U là thuần nhất bậc 0 nên có thể thêm giả thiết. Và tất nhiên bài này đối với PSW chỉ là chuyện nhỏ
Nếu thay U bằng một biểu thức khác, ví dụ $U=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$, thì bạn Nguyễn Hưng làm thế nào nhỉ?
Giả sử $(a,b,c)$ là một bộ số thỏa mãn điều kiện ban đầu. Khi đó $(ka,kb,kc)$ ($k \ne 0$) cũng thỏa mãn điều kiện.
Giờ ta thử khảo sát
\[U\left( k \right) = \dfrac{{k\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
(vì $a,b,c$ đã cố định, $k \ne 0$)
Khi cho $k \to \pm \infty $ thì tương ứng $U\left( k \right) \to \pm \infty $, nghĩa là không tồn tại GTLN, GTNN.
Vậy để bài toán có ý nghĩa thì nhất thiết biểu thức của nó phải thuần nhất bậc 0.
#7
Đã gửi 20-12-2011 - 20:33
Oái, đúng vậy Anh già nên lẩm cẩm mất rồi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh