Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
\[\dfrac{{{a^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\]
Chứng minh:
Xét hiệu $VT-VP$ và một số phép nhóm đơn giản ta thu được bất đẳng thức tương đương sau:
$$\Leftrightarrow ab(a-b)\left[\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \right]+bc(b-c)\left[\dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)}-\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)} \right]$$
$$+ca(a-c)\left[\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)} \right] \ge 0$$
Với việc giả sử: $a \ge b \ge c$ thì ta có:
$$\dfrac{1}{(b+c)(b^2+c^2)} \ge \dfrac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \ge \dfrac{1}{(a+b)(a^2+b^2)}$$
Từ đó suy các biểu thức trong bất đẳng thức trên đều không âm. Ta có điều phải chứng minh.
Dấu $''=''$ xảy ra khi:$a=b=c$
P/s: Mong mọi người tham gia nhiệt hơn nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 10-11-2011 - 22:17