Chủ đề này có 2239 trả lời

[abel263]

Bài này là một bài rất quen thuộc mà. Giải bằng phép quay

[Lee Sr]

Cho tam giac deu ABC canh AB=20,lay M,N,P tren cac canh BC,CA,AB sao cho BM=10,CN=20,AP=27.AM PN={I}.Tinh ti so

[Ha Vu Anh]

1. Cho ba tam giác đều AB_1C_1,AB_2C_2,AB_3C_3 bằng nhau cùng hướng. Gọi M,N,P là giao điềm thứ hai của các cặp đường tròn (AB_1C_2) và (AB_2C_3); (AB_2C_3) và (AB_3C_1); (AB_3C_1) và (AB_1C_2). Chứng minh rằng tam giác MNP đều, bằng nhau và cùng hướng với ba tam giác ban đầu.
2. e là đường thẳng ơle của tam giác ABC. cmr e||l_a iff A=120^0.
e l_a iff A=60^0
3. Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng qua O, cắt BC,CA,AB tại D,E,F. cmr đường thẳng ơle của các tam giác AEF,BFD,CDE tạo nên một tam giác đều vị tự với tam giác ABC, với tâm vị tự nằm trên

[Laoshero1805]

Cho tứ giác ABCD lồi. AB cắt CD tại M. AD cắt BC tại N. Gọi X, Y là điểm trên CB, CD sao cho XY // BD. MX cắt AB tại P, NY cắt AD tại Q. Chứng minh PQ // BD.

[tieu_than_tien]

KHÔNG AI GIẢI ĐƯỢC À

:cry :cry :cry :cry :cry :cry :cry :cry :cry :cry :cry

[neverstop]

bài 2:
gọi H là giao điểm của với OA thì
dùng phép nghịch đảo tâm A, hệ số bằng phương tích của A đối với (O), tức là , do đó qua phép nghịch đảo này H sẽ biến thành điểm đối xứng của A qua O. suy ra sẽ biến thành đường tròn (O, OA).
đường tròn (k) sẽ biến thành đường thẳng tiếp xúc với (O). B, C sẽ thành giao điểm D, E của đường thẳng đó với (O, OA). do độ dài DE không đổi nên .

[neverstop]

mình sửa lại đề chút ít: MX cắt AD tại P, NY cắt AB tại Q.
bài này mình dùng tỉ số kép và phép chiếu xuyên tâm.
qua phép chiếu tâm M hàng điểm (NBXC) thành (NAPD) nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{KA}{KC}.

[Merlyn]

Có thể diễn đạt một cách dễ hiểu hơn như sau:
Gọi E,F lần lượt là giao điểm của MX,NY với BD.
Áp dụng định lý Menelaus cho ABD với cát tuyến (NQF) và cát tuyến (MPE) được :http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{QA}{QB}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{FB}{FD}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{PA}{PD}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{ED}{EB}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MB}{MA}=1
Vậy PQ//BD http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{FB}{FD}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{ND}{NA}=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{ED}{EB}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MB}{MA} (1).
Tiếp theo áp dụng Menelaus cho BCD với cát tuyến (NFY) và (MEX),chú ý rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{YD}{YC}=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{XB}{XC}ta được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{FB}{FD}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{NC}{NB}=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{ED}{EB}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MC}{MD}
Suy ra (1) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MB}{MA}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{NC}{NB}=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MC}{MD}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{ND}{NA} (2)
Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{MA}{MB}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{NB}{NC}==VP nên (2) đúng . đpcm.

[neverstop]

bài 3:

gọi P là điểm sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta là trục đẳng phương của (O) và đường tròn điểm (P). ta sẽ chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\widehat{MPN} không đổi.

nghịch đảo tâm M, tỉ số http://dientuvietnam...imetex.cgi?MP^2 thì (O), P không đổi. gọi S là điểm tiếp xúc của đường tròn đường kính MN với (O) và E, F là ảnh của N, S qua phép nghịch đảo. khi đó đường tròn đường kính BC thành đường thẳng EF nên EF tiếp xúc với (O). mặt khác tứ giác NSEF nội tiếp nên , từ đó suy ra E, F đều cố định.

gọi d là tiếp tuyến tại M của đường tròn (MPE), qua phép nghịch đảo góc được bảo toàn nên = const.

[Math_Player1990]

cho tam giác ABC
CMR:ma/ha+mb/hb+mc/hc (9R^2-14Rr+4r^2)/2Rr
trong đó:ma,mb,mc lần lượt là 3 trung tuyến của ABC
ha,hb,hc là 3 đường cao tương ứng
R:tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
r:tâm đương tròn nội tiếp tam giác

[le duc quang]

cho tam giác ABC gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp , gọi M là trung điểm của BC.C/m:
AMvuông góc với OI khi và chỉ khi 2/a=1/b+1/c. Trong đó a,b,c lần lượt là cạnh của tam giác ABC.

[Ha Vu Anh]

Cho tam giác ABC và điểm O. Đường tròn (k) qua O, cắt lại các đường thẳng OA,OB,OC tại A',B',C'. Các đường tròn (BOC),(COA),(AOB) cắt lại (O) tại A",B",C". Chứng minh rằng A'A",B'B",C'C" đồng quy.

[Ronaldo]

Tuy không còn học hình học, nhưng mà tôi cũng có nhiều ấn tượng tốt về hình. Trong đó có bài toán sau : lời giải tôi xin để ngỏ
Cho tam giác http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\large\Delta_{B}\cap\Delta_{C}=\{A'\}, tương tự với
Chứng minh đồng quy và điểm đồng quy thỏa mãn
(i)Nếu tam giác nhọn thì điểm đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
(ii)Nếu tam giác tù tại thì điểm đồng quy là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi camum: 26-12-2005 - 01:29

[nguyenngocquy]

bộ bác kô có lời giải ah
khó quá

[Ronaldo]

Bài này là một trong những bài dùng góc định hướng khá là hay . Bạn nào không thạo góc định hướng thì có lẽ là rất khó tiếp cận

[cuong161090]

cho tam giác ABC
chứng minh

p^2 + r^2 + 4Rr = ab + bc + ca (1)

(không dùng công thức Hê-rông và lượng giác
vì tôi muốn dùng (1) để chưng minh công thức Hê- rông)

[neverstop]

bổ đề:

cho 2 đường thẳng a, b cắt nhau tại O. P là 1 điểm bất kỳ. M, N đối xứng với P qua a, b. đường thẳng MN cắt a, b lần lượt tại A, B. cmr PO là phân giác của góc APB. (có thể phân giác ngoài hoặc trong).

cm:

ta có: (PO, PA) = (MO, MA) = (NB, NO) (vì tam giác OMN cân) = (PB, PO), đpcm.

trở lại bài toán:

từ bổ đề suy ra AA', BB', CC' là phân giác của tam giác A'B'C'.
qua A, B, C kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp (O) tạo thành tam giác MNP.

ta có: (A'B', A'C') = (A'B', AB) + (AB, AC) + (AC, A'C') = (AB, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta) + (AB, AC) + (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta, AC) = 2(AB, AC) = (OB, OC) = (MP, MN)
tương tự có thêm 1 hệ thức nữa, suy ra tam giác MNP và A'B'C' là ảnh của nhau qua 1 phép đồng dạng nghịch (ký hiệu là f).

để chứng minh các đường này đồng quy, ta chứng minh chúng đồng quy tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

giả sử BB' cắt CC' tại K.
ta có: 2(KB, KC) = 2(KB', KC') = 2(KB', B'C') + 2(B'C', KC') = (A'B', B'C') + (B'C', C'A') = (A'B', C'A') = 2(AB, AC) (mod 2pi)
suy ra: (KB, KC) = (AB, AC) (mod pi) hay K thuộc (O).
tương tự CC', AA' cũng cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O) tức 3 đường AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm K thuộc (O).

mặt khác từ trên ta cũng có: (KB', KC') = (AB, AC) = (OP, ON)
tương tự: (KC', KA') = (OM, OP)
từ đó suy ra qua phép đồng dạng f thì điểm O biến thành điểm K.

dễ thấy rằng nếu tam giác ABC nhọn thì O là tâm nội tiếp tam giác MNP, suy ra K là tâm nội tiếp tam giác A'B'C'; còn nếu tam giác ABC tù tại A thì O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác MNP, suy ra K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A' của tam giác A'B'C'.

[thetthetwin]

Cho tam giác ABC,O là điểm nằm trong tam giác.Các đoạn thẳngAO,BO,CO cắt BC,CA,AB lần lượt tại M,N,P.Các đường tròn đường kínhBC và AM cắt nhau tại A1,A2.Các điểm B1,B2,C1,C2 được xác định tương tự.Chứng minh rằng 6 điểm A1,A2,B1,B2,C1,C2 cùng thuộc 1 đường tròn/.

[pnt]

gọi H là trực tâm tam giác ABC, khi đó các bạn sẽ chứng minh được qua H. Vì vậy, các đoạn thẳng này cắt nhau tại trục đẳng phương của các đường tròn tương ứng.
Bài toán được giải quyết ngay. Do vẫn chưa thạo với việc sử dụng các kí tự hình hoc ở diễn đàn nên tôi không thể đưa bài giải hoàn chỉnh lên được. Mong các bạn thông cảm.

[pnt]

Theo tôi, công cụ Góc định hướng làm bài toán trở nên nặng nề.
Cách đơn giản nhất cho bài toán này là xét các trường hợp nhọn,vuông,tù của góc A.