Chủ đề này có 6 trả lời

[herohighway007]

1/ Cho a, b, c>0. CMR
$\dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\dfrac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\dfrac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \dfrac{1}{abc}$

2/ Cho a, b, c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$T=a+b+c+\dfrac{1}{abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 12-11-2011 - 23:39
Tiêu đề chưa cụ thể!

[HÀ QUỐC ĐẠT]

1/ Cho a, b, c>0. CMR
$\dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\dfrac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\dfrac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \dfrac{1}{abc}$

2/ Cho a, b, c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$T=a+b+c+\dfrac{1}{abc}$

1,$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Rightarrow \dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \dfrac{1}{ab(a+b+c)}$
Tương tự $\dfrac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}\leq \dfrac{1}{bc(a+b+c)}$
$\dfrac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\leq \dfrac{1}{ca(a+b+c)}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}+\dfrac{1}{b^{3}+c^{3}+abc}+\dfrac{1}{c^{3}+a^{3}+abc}\dfrac{1}{a+b+c}.(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})=\dfrac{1}{abc}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
2,Áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số ta có
$a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\geq 4\sqrt[4]{abc.\dfrac{1}{9abc}}+\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=4\sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi$ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 07-11-2011 - 17:09

[alex_hoang]

Cả hai bài toán này đều không khó
Bạn có thể làm như sau
Bài 1$\dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \dfrac{1}{{{a^2}b + {b^2}a + abc}} = \dfrac{c}{{abc(a + b + c)}}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế thì ta có đpcm
Bài 2 $a + b + c + \dfrac{1}{{9abc}} \ge \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}$
Và $abc \le \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }}$
Như vậy là ta cũng tìm được kết quả

[herohighway007]

Cho em hỏi là bài 2 ấy, mình ko tách ra như vậy mà áp dụng thẳng AM-GM vào biểu thức ban đầu lun dc ko?? Nếu ko dc, mong các bác giải thích kỹ cho em, về khoản BĐT em mới học nên có mấy điều còn chưa hỉu...!!!!

[Ispectorgadget]

Không được bởi vì BĐT đạt GTNN khi các số = nhau (trong SGK lớp 10 có đề cập tới). Bạn có thể tham khảo thêm 1 số tài liệu trên mạng về kĩ thuật chọn "điểm rơi" (kĩ thuật cân bằng hệ số AM-GM) để biết rõ hơn

[herohighway007]

Vậy trong bài 2 trên mình chọn điểm rơi như thía nào vậy các bác?? Em coi tài liệu r mà vẫn chưa hỉu mô tê j hik....!!!!

[Ispectorgadget]

mình hồi trước cũng vậy đọc lúc đầu không hiểu mà đọc đi đọc lại khoảng 1 tuần là hiểu
Bài 2 ta dự đoán được dấu "=" xảy ra khi a=b=c $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Do đó ta phải tách $\dfrac{1}{abc }$ làm sao cho có thể sử dụng được được AM-GM (cái này trong mấy tài liệu có nói)