137 replies to this topic

[dangnamneu]

Em góp vui bài

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

kHÁ LÀ đẹp mắt nhưng a chưa nghĩ ra

[duong vi tuan]

Em góp vui bài

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 

F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 

$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

Edited by duong vi tuan, 15-01-2014 - 07:56.

[duong vi tuan]

Các bạn trao đổi về đề Cấp trường của Kinh tế quốc dân năm 2014

Câu 1: Cho dãy số $\left\{ {{a_n}} \right\}$xác định bởi ${a_1} = \frac{1}{2},{a_n} = \frac{{a_n^2}}{{a_n^2 - {a_n} + 1}},\forall n = 1,2,...$

a)      Chứng minh rằng dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}$có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)      Đặt ${b_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$. Tìm phần nguyên của ${b_n}$và tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {b_n}$.     

 

làm nốt bài này nữa là topnic hết bài ^^.

dễ thấy $a_n > 0 $ với mọi n , ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\leq \frac{a_n^2}{a_n}=a_n$ vậy dãy số trên hội tụ . dễ chỉ ra $a_n$ hội tụ đến 0.

b) ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\Leftrightarrow a_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{n}}{a_{n}-1}$

$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{1}}{a_{1}-1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1} +1$ vậy  $b_n\rightarrow 1$

hơn nữa với n>1 thì ta có $0<a_n<  \frac{1}{2}\Rightarrow -1<\frac{a_n}{a_n-1}<0$ nên  $[b_n] = 0 $

Edited by duong vi tuan, 17-01-2014 - 12:22.

[dangnamneu]

 

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 

F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 

$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

 

Bắt nguồn từ Flets

[duong vi tuan]

Bắt nguồn từ Flets

??????????????????????????

[dangnamneu]

Thêm bài mới trích từ đề Olympic Toán SV ĐH FPT năm 2014

Các câu khá là cũ lấy từ các sách ra.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ 

Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số

$${{a}_{1}}=\dfrac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$$

với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình

$2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$

có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và ${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn 
a) $$({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$$ với mọi $n\ge 1.$
b) Các chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ và $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$$ cũng hội tụ.

 

Edited by Ispectorgadget, 02-03-2014 - 13:03.

[Mr Right]

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho hàm số f dương và liên tục trên đoạn $ [0;1] $. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $ n $ tồn tại $ \theta(n) $ sao cho: $ \dfrac{1}{n}.\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{\theta(n)}f(x)dx+\displaystyle \int_{1-\theta(n)}^{1}f(x)dx $. Tính $ \lim\limits_{x\to \infty} (n.\theta(n)) $

Bài 3. Cho dãy $ (x_{n}) $ thỏa mãn $ \lim\limits_{x\to \infty} (2008x_{n+1}-2007x_{n})=1 $. Chứng minh rằng dãy $ (x_{n}) $ hội tụ và $ \lim\limits_{x\to \infty}x_{n}=1 $

Edited by Ispectorgadget, 02-03-2014 - 13:02.

[Ispectorgadget]

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Câu này yêu cầu đề có thiếu gì không nhỉ :-/

Áp dụng công thức Binet ta có

$$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{f_{n+1}}{f_n}=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2} )^{n+1}}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}  )^{n}} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

[Mr Right]

Bài 4. Với giá trị nào của $ a>1 $ thì tích phân $ I(a)=\displaystyle\int_{a}^{a^{2}}\dfrac{1}{x}ln\dfrac{x-1}{32}dx $ đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 5. Cho hàm $ f $ xác định và liên tục trên đoạn $ [a,b] $ và có $ f^{'}, f^{"} $ liên tục trên khoảng $ (a,b), f(a)=f(b)=0 $. Chứng minh rằng: với $ \forall x\in(a,b), \exists z(x)\in(a,b) $ để $ f(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)}{2}.f^{"}(z(x)) $

Bài 6. Cho dãy số $ x_{n} $ được xác định như sau: $ x_{1}=\dfrac{1}{3}, x_{2n}=\dfrac{1}{3}x_{2n-1}, x_{2n+1}=\dfrac{1}{3}+x_{2n}, n=1,2,\cdots $. Tìm $ \lim\limits_{x \to \infty} sup x_{n}, \lim\limits_{x \to \infty} inf x_{n}? $

Bài 7. Nếu hàm số $ f:(0,1)\rightarrow[0,1] $ là một song ánh thì $ f $ có thể liên tục được không?

Edited by Mr Right, 03-03-2014 - 16:32.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).

[KoBietDatTenSaoChoHot]

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).

 

Có lẻ em suy nghĩ chưa kỹ rồi. Hai khoảng $(0,1)$, $[0,1]$ nên được nhìn nhận là hai ko gian riêng lẻ, chứ ko phải là hai tập con của $\mathbb{R}$. 

 

Lời giải như sau: giả sử $f: (0,1)\to [0,1]$ là liên tục. Gọi $g=f^{-1}$, hàm ngược của f. Thì $g$ liên tục (hãy chứng minh nó nếu các bạn có hứng). Ta có 

$g:[0,1]\to (0,1)$ là liên tục. Nhưng điều này vô lý vì $[0,1]$ là ko gian compact, trong khi $(0,1)$ ko phải compact (vô lý vì ta có tính chất rằng ảnh của một ko gian compact qua một hàm liên tục là compact).

Edited by KoBietDatTenSaoChoHot, 27-08-2014 - 12:05.

[quangbinng]

Cho em xin tài liệu về chuỗi ôn thi OLP được không ạ

[LangTu Mua Bui]

Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)

Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$

Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$

Với $x=0 \Rightarrow f(0)=0$

 Với $x \neq 0$ Đặt$u=xt \Rightarrow g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(u)du}{x}=0$

$\Rightarrow \int_{0}^{x}f(u)du=0\forall u $

Do f(x) liên tục nên hàm g(x) khả vị nên Đạo hàm 2 vê ta được $ \Rightarrow g'(x)=f(x)=0 f(0)=0$

Hàm f(x) là hàm hằng $$\Rightarrow f(x)=0$$

[mtaA0 S]

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 

Edited by mtaA0 S, 10-01-2016 - 12:10.

[phamxuanvinh08101997]

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè

Edited by phamxuanvinh08101997, 14-01-2016 - 07:45.

[mtaA0 S]

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè

Nhưng mà hàm f(x) đã dương đâu mà a.Xử lí tiếp đi anh.

[happyfree]

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$

[HeilHitler]

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$

1. Xét hàm $g(x)=f(x)-[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]x^3-[\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)]x^2-f'(0)x$.

Thấy ngay $g(1)=g(0)=g(-1)$ (vì cùng bằng $f(0)$) nên tồn tại $c_1 \in (0,1); c_2 \in (-1,0)$ để $g'(c_1)=g'(c_2)=0$ (I).

Thấy ngay $g'(0)=0$ (II).

Như vậy từ (I) và (II) suy ra tồn tại $c_3 \in (0,c_1); c_4 \in (c_2,0)$ để $g''(c_3)=g''(c_4)=0$. Như vậy có $c \in (c_4,c_3)$ mà $g'''(c)=0$ hay $f'''(c)=6[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]$ (đpcm).
 

Edited by HeilHitler, 26-01-2016 - 10:22.