Chủ đề này có 1115 trả lời

[yeutoan11]

Oạch anh Kiên xóa cả lời giải bài 299 của em rồi

C1:$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}=\frac{a^4}{a+ab^2}+\frac{b^4}{b+a^2b}=\frac{a^4}{a+b}+\frac{b^4}{a+b}\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2(a+b)}$
$\geq \frac{\frac{(a+b)^4}{4}}{2(a+b)}=\frac{(a+b)^3}{8}\geq \frac{(2\sqrt{ab})^3}{8}=1<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$
C2: Cauchy ngược.
$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}=a^3-\frac{a^3b^2}{b^2+1}+b^3-\frac{a^2b^3}{a^2+1}\geq a^3-\frac{a^2b}{2b}+b^3-\frac{ab^2}{2a}$
$=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2})=(a+b)(a^2+b^2-1)-\frac{1}{2}(a^2+b^2-1)-\frac{1}{2}=(a+b-\frac{1}{2})(a^2+b^2-1)-\frac{1}{2}\geq (2\sqrt{ab}-\frac{1}{2})(2ab-1)-\frac{1}{2}=1<Q.E.D>$
Cách cauchy ngược trông "trâu bò" hơn

chú xem lại chỗ đỏ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 11-03-2012 - 23:44

[minhtuyb]

chú xem lại chỗ đỏ nhé

Đúng rồi mà :
$\frac{a^3}{1+b^2}=\frac{a^4}{a+ab^2}$
Mà $ab=1\Rightarrow ab^2=ab.b=b\Rightarrow \frac{a^4}{a+ab^2}=\frac{a^4}{a+b}$
Tương tự với $\frac{b^4}{b+a^2b}$ thôi
Mà ai chém bài 300 đi

[yeutoan11]

Bài 303 : Cho $Q=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$ Biết Q dương . Tìm x,y,z nguyên dương để Q đạt nhỏ nhất


Bài 304 có nhiều rồi em.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-03-2012 - 22:32

[Tham Lang]

Hình như, đề bài 303 phải là $x, y, z$ nguyên dương chứ ?
Bài 304.
$$P = \dfrac{y - 1 + x - 1}{x^2} + \dfrac{z - 1 + y - 1}{y^2} + \dfrac{x - 1 + z - 1}{z^2} - \left (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right )$$
Lại có $$\dfrac{y - 1 + x - 1}{x^2} + \dfrac{z - 1 + y - 1}{y^2} + \dfrac{x - 1 + z - 1}{z^2} = (x - 1)\left (\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{z^2}\right ) + (y - 1)\left (\dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{x^2}\right ) + (z - 1)\left (\dfrac{1}{y^2 + z^2}\right ) \ge \dfrac{2(x - 1)}{xz} + \dfrac{2(y - 1)}{xy} + \dfrac{2(z - 1)}{yz}$$ $$ = \dfrac{2}{z} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} - 2\left (\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx}\right ) = \dfrac{2}{z} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} - 2$$
Nên $$P \ge \dfrac{2}{z} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} - 2 - \left ( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right )= \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} - 2$$
$$\left (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right )^2 ge 3\left (\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx}\right ) = 3$$
Suy ra $$P \ge \sqrt{3} - 2$$
Vậy $$P_{min} = \sqrt{3} - 2 \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt{3}$$

[hoangvi1997]

Bài 305: Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
$\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y^4}{z^2(x+y)}+\frac{z^4}{x^2(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Vui lòng đánh số bài vào lần sau sẽ xóa không báo trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-03-2012 - 22:04

[Tham Lang]

Bài 303 : Cho $Q=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$ Biết Q dương . Tìm x,y,z nguyên dương để Q đạt nhỏ nhất


.

Không ai làm thì mình xin làm vậy
Thật vậy, vì $x > x + y> x + y + z$ nên lúc đó can $x$ min nên $x = 3$ suy ra tiếp $x + y = 7$ suy ra $x + y + z = 43$

Cho ba số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
$\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y^4}{z^2(x+y)}+\frac{z^4}{x^2(y+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Ta có :
$$\dfrac{x^4}{y^2(x + z)} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{x + z}{4} \ge 4\sqrt[4]{\dfrac{x^4y^2(x + z)}{16y^2(x + z)}} = 2x$$
Suy ra $$\frac{x^4}{y^2(z+x)}+\frac{y^4}{z^2(x+y)}+\frac{z^4}{x^2(y+z)} + \dfrac{3(x + y + z)}{2} \ge 2(x + y + z) \Leftrightarrow Q \ge \dfrac{x + y + z}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 15-03-2012 - 00:19

[hoangvi1997]

Bài 306: Tìm GTNN của biểu thức:
E= $x^{25}-5x^{5}+2009$ (với x$\epsilon$R)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-03-2012 - 22:05

[yeutoan11]

Tìm GTNN của biểu thức:
E= $x^{25}-5x^{5}+2009$ (với x$\epsilon$R)

$E =x^{25} + 1+1+1+1 -5x^5 + 2005 \geq 5x^5 - 5x^5 + 2005 = 2005$
Dấu = khi x=1

[minhtuyb]

$E =x^{25} + 1+1+1+1 -5x^5 + 2005 \geq 5x^5 - 5x^5 + 2005 = 2005$
Dấu = khi x=1

x chắc gì dương mà chú đã tương Cauchy ngay thế ,$x\in R$ kìa
Bài này lấy ý tưởng từ đây chăng?:
$minF=x^{100}-10x^{10}+2010$
Thế này mới Cauchy được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 15-03-2012 - 22:25

[Tham Lang]

Bài 306 .$E = x^{25} - 5x^5 + 2009 = x^5.(x^{20} - 5) + 2009$
Nói cho dễ hiểu, nếu $x $ càng âm thì $x^{20} - 5$ càng dương, $x^5$ càng âm suy ra $x^5(x^{20} - 5)$ càng âm hay E càng bé
Mình nghĩ, điều kiện phải là $x \ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 16-03-2012 - 18:34

[Ispectorgadget]

Bài 307: Cho các số thức $x,y,,z$ thỏa mãn $x,y,z\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$$
Bài 308: Cho các số thực a,b thỏa mãn $(a^2-1)(b^2-1)=1$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=|1+ab|+|a+b|$$
Bài 309:Cho x,y,z,t>0 và $xy+4zt+2yz+2xt=9$. Chứng minh rằng
$$\sqrt{xy} +2\sqrt{zt} \le 3$$

[ToanHocLaNiemVui]

Em "chém" lun bài 309:
Đặt BT cần c/m là F.
AD BĐT Cauchy cho 2 số dương , ta có:
$F^{2}=(\sqrt{xy}+2\sqrt{zt})^{2}=xy+4zt+2\sqrt{2yz}.\sqrt{2xt}\leq xy+4zt+2yz+2xt=9$
Vì: $F>0$ nên: $F\leq 3$
=> đpcm. Vì đề không y/c chỉ ra dấu "=" xảy ra khi nào nên em xin phép không chỉ....

[Ispectorgadget]

Bài 310: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:$$\sqrt{\left ( a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right )\left ( ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right )}\geq abc+\sqrt[3]{\left ( a^{3}+abc \right )\left ( b^{3}+abc \right )\left ( c^{3}+abc \right )}$$

Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

[minhtuyb]

Bài 308: Cho các số thực a,b thỏa mãn $(a^2-1)(b^2-1)=1$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=|1+ab|+|a+b|$$

$(a^2-1)(b^2-1)=1\Rightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=1\Rightarrow a^2b^2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\geq 2$
Khi đó:
$P=|1+ab|+|a+b|\geq |1+2|+\sqrt{(a+b)^2}\geq 3+\sqrt{4ab}\geq 3+2\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$
Vậy $minP=3+2\sqrt{2}$ khi $a=b=\sqrt{2}$
P/s:

Chuẩn hóa $abc=1$

Nhân ra, ta có

$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=\sum (ab)^3+\sum a^3+3=x$ suy ra $x\geq 9$

$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)=\sum (ab)^3+\sum a^3+2=x-1$


Thay vào BĐT trên, ta phải chứng minh $\sqrt{x}\geq 1+\sqrt[3]{x-1}\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\geq \sqrt[3]{x-1}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{x}-3x+3\sqrt{x}-1\geq x-1\Leftrightarrow x+3\geq 4\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)\geq 0$ đúng vì $x\geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 18-03-2012 - 18:04

[phantomladyvskaitokid]

$(a^2-1)(b^2-1)=1\Rightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=1\Rightarrow a^2b^2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\geq 2$ Khi đó: $P=|1+ab|+|a+b|\geq |1+2|+\sqrt{(a+b)^2}\geq 3+\sqrt{4ab}\geq 3+2\sqrt{2}$ Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$ Vậy $minP=3+2\sqrt{2}$ khi $a=b=\sqrt{2}$ P/s:

min P=1 chứ

cậu sai ngay ở dòng đầu rồi

xem lại đi

[Katyusha]

Bài 308: Cho các số thực a,b thỏa mãn $(a^2-1)(b^2-1)=1$. Tìm GTNN của biểu thức
$$P=|1+ab|+|a+b|$$

Từ giả thiết ta suy ra $a^2+b^2 = a^2b^2 \le \dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}$ (*)
Nếu $a^2+b^2=0$ tức $a=b=0$ thì $P=1$
Nếu $a^2+b^2>0$, từ (*) ta suy ra $a^2+b^2 \ge 4$. Do đó $a^2b^2 \ge 4 \Leftrightarrow ab \le -2 v ab \ge 2$.
Khi đó dễ thấy $P > |1+ab| > |1-2|=1$

Vậy $P \ge 1$. $minP=1$ khi $a=b=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 18-03-2012 - 22:00

[phantomladyvskaitokid]

Bài 307: Cho các số thức $x,y,,z$ thỏa mãn $x,y,z\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$$

GS $x \geq y\geq z \Rightarrow P= \sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2(x-y+y-z)}+\sqrt{x-z}=(\sqrt{2}+1)\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2}+1$

[alex_hoang]

Bài 300: Cho x,y,z dương tích bằng 1. CMR:
$9+ \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\geq (x+y+z)(xy+yz+zx)+ \frac{(xy+yz+zx)^2}{x+y+z}$
<Của anh bboy >

Nó tương đương với
\[\sum {{{(x - y)}^2}\left[ {\frac{{{z^2}}}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) - z - \frac{1}{2}\frac{{{z^2}}}{{x + y + z}}} \right]} \ge 0\]
Luôn đúng

[alex_hoang]

Bài 302: Cho a,b,c>0 . Chứng minh
\[
\frac{{a(b + c)}}{{(b + c)^2 + a^2 }} + \frac{{b(c + a)}}{{(c + a)^2 + b^2 }} + \frac{{c(a + b)}}{{(a + b)^2 + c^2 }} \le \frac{6}{5}
\]

Bài này chuẩn hoá $a+b+c=1$
Ta chứng minh
\[\sum {\frac{{a(1 - a)}}{{1 - 2a + 2{a^2}}} \le \frac{6}{5}} \]
\[\sum {\left( {\frac{1}{2} + \frac{{a(1 - a)}}{{1 - 2a + 2{a^2}}}} \right) \le \frac{{27}}{{10}}} \]
\[\sum {\frac{1}{{1 - 2a + 2{a^2}}} \le \frac{{27}}{5}} \]
Mà
\[\frac{1}{{1 - 2a + 2{a^2}}} \le \frac{{54}}{{25}}a + \frac{{27}}{{25}}\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế

[Ispectorgadget]

Bài 311: Cho x,y là nghiệm nguyên của phương trình $4x+5y=7$. TÌm GTNN của hàm số
$$f(x;y)=5|x|-3|y|$$
Bài 312: Cho a,b >0 thỏa $2a+b=a^2b$ chứng minh rằng $\frac{2a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$