Thêm 1 bài góp vui
Bài 290: Cho $x,y,z \in [1;3]$.Chứng minh rằng:
$$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \le \frac{35}{3}$$
Ủa hình như 2 bài này khác nhau hả anh?
Cho x,y,z thuộc [1,3]
$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$
Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$
Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$