Chủ đề này có 1115 trả lời

[triethuynhmath]

Bài 462:
Cho x thuộc đoạn $[0;1]$.Tìm GTLN của biểu thức:
$P=x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})$
Lưu ý:hạn chế sử dụng Bunyakovsky(mặc dù không biết có ra không).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 18-07-2012 - 13:16

[mbrandm]

Bài 463: Cho tam giác ABC không nhọn và BC=a; AC=b;AB=c.
chứng minh :
a($\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)+b($\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$)+c($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$)$\geq$ 2+$3\sqrt{2}$

[mbrandm]

topic phát triển nhanh quá, hôm qua mới 32 trang nay đã 63 trang

[Tru09]

Bài 463: Cho tam giác ABC không nhọn và BC=a; AC=b;AB=c.
chứng minh :
a($\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$)+b($\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$)+c($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$)$\geq$ 2+$3\sqrt{2}$

Bay đến trang 4 đấy
#-o
http://diendantoanho...c1bgeq-23sqrt2/

[vuive97]

Bài 464: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh:
$\frac{xa}{b+c}+\frac{yb}{c+a}+\frac{zc}{a+b}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-\frac{x+y+z}{2}$
Bài 465: Cho a,b,c là các số thực dương và x$\geq 2$. Chứng minh:
$\frac{a}{\sqrt{a+xb}}+\frac{b}{\sqrt{b+xc}}+\frac{c}{\sqrt{c+xa}}\geq \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{\sqrt{1+x}}$

[Ispectorgadget]

Bài 462:
Cho x thuộc đoạn $[0;1]$.Tìm GTLN của biểu thức:
$P=x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})$
Lưu ý:hạn chế sử dụng Bunyakovsky(mặc dù không biết có ra không).

Áp dụng BĐT Cosi ta có

$$x(9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2})=\frac{3}{2}.3x.2\sqrt{1+x^2}+\frac{13}{2}.x.2\sqrt{1-x^2}$$
$$\leq \frac{3}{4}[9x^2+4(1+x^2)]+\frac{13}{4}[x^2+4(1-x^2)]=16$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $3x=2\sqrt{1+x^2}$ và $x=2\sqrt{1-x^2}$ hay $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Bài toán tổng quát ở đây

[Ispectorgadget]

Bài 464: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh:
$\frac{xa}{b+c}+\frac{yb}{c+a}+\frac{zc}{a+b}\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}-\frac{x+y+z}{2}$

Cộng 2 vế cho $x+y+z$ ta có:
BĐT cần chứng minh tương đương $$(a+b+c)[\frac{x}{b+c}+\frac{y}{c+a}+\frac{z}{a+b}]\ge \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2}$$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: $$\large{\Leftrightarrow [(b+c)+(c+a)+(a+b)]\begin{bmatrix}
\frac{x}{b+c}+\frac{y}{c+a}+\frac{z}{a+b}
\end{bmatrix}\ge (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}$$
Từ đây ta có điều cần chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 09:05

[mbrandm]

Bài 466 Xét xem khẳng định sau đúng hay sai:
Với mọi m,n nguyên dương đều có :
$\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$.
Đây là đề thi chuyên toán tin ĐHSP Hà Nội I 1997-1998.

Bài 467: Là cực trị hình học nên không nên post vào topic này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 09:06

[hamdvk]

Bài 466 Xét xem khẳng định sau đúng hay sai:
Với mọi m,n nguyên dương đều có :
$\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$.
Đây là đề thi chuyên toán tin ĐHSP Hà Nội I 1997-1998.

Mình nghĩ câu này không được hợp lý cho lắm
Vì VP hoàn toàn phụ thuộc vào biến n
Cho n một giá trị hoàn toàn có thể tìm ra m để $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$. sai
Nên khẳng định đó là sai !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 11:29

[triethuynhmath]

Mình nghĩ câu này không được hợp lý cho lắm
Vì VP hoàn toàn phụ thuộc vào biến n
Cho n một giá trị hoàn toàn có thể tìm ra m để $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$. sai
Nên khẳng định đó là sai !!

Vậy bạn có thể đưa ra ví dụ để chứng minh khẳng định trên sai được không bạn à?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 11:32

[hamdvk]

Ví dụ: m=1,5 ; n=1: $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |-\frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=-0,23...$
m=2,9 khi n=2: $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |-\frac{1}{n^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}= -0,0436...$
---------------------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 11:31

[Ispectorgadget]

Bài 466 Xét xem khẳng định sau đúng hay sai:
Với mọi m,n nguyên dương đều có :
$\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$.
Đây là đề thi chuyên toán tin ĐHSP Hà Nội I 1997-1998.

Khẳng định này đúng! Chứng minh:
Giả sử tồn tại các số nguyên dương a sao cho
$|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|<\frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ (*)
Mà $|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\ge \frac{m}{n}-\sqrt{2}$ nên $$\frac{m}{n}-\sqrt{2}<\frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\Leftrightarrow \frac{m-\sqrt{2}n}{n}<\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{n^2}$$
$$\Leftrightarrow mn-\sqrt{2}n^2<\sqrt{3}-\sqrt{2}\Leftrightarrow n(m+n\sqrt{2})<n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(n^2-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3})$$
Do $(n^2-1)(\sqrt{2}-\sqrt{3}<0)$ nên ta có $n(m+n\sqrt{2})<n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ (**)
Mặt khác do $m,n$ là các số nguyên dương nên $m-\sqrt{2} n$ khác 0, suy ra $m^2-2n^2 \neq 0$ nhưng $m^2-2n^2 \in Z$ nên $|m^2-2n^2| \ge 1$. Do đó $\begin{vmatrix}
\frac{m}{n}-\sqrt{2}\end{vmatrix}=\frac{|m-\sqrt{2}n|}{n}=\frac{|m^2-2n^2|}{n|m+n\sqrt{2}|}\geq \frac{1}{n(m+\sqrt{2}n)} (*)(*)(*)$
Từ (*)(*) và (*)(*)(*) ta có $\begin{vmatrix}
\frac{m}{n}-\sqrt{2}\end{vmatrix}\ge \frac{1}{n^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$ mâu thuẫn với (*) nên ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 11:27

[vuive97]

Bài 467: Co 3 số thực x,y,z thoả mãn x(x-1)+ y(y-1) +z(z-1)$\leq \frac{4}{3}$. Chứng minh: x+y+z$\leq 4$
Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

[ninhxa]

Bài 467: Co 3 số thực x,y,z thoả mãn x(x-1)+ y(y-1) +z(z-1)$\leq \frac{4}{3}$. Chứng minh: x+y+z$\leq 4$

-Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta dc: $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$$\Rightarrow \frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3}-(x+y+z)\leq x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq 4$
$\Rightarrow \left [ \left ( x+y+z \right ) -4\right ]\left [ \left ( x+y+z \right )+1 \right ]\leq 0$
$\rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 20-07-2012 - 07:44

[hamdvk]

Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Do x, y, z dương x + y + z = 1 nên 0 < x, y, z < 1
áp dụng bđt $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\leq 3(x+y+z)=3\Leftrightarrow$ $ 0<\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3}$
Ta có
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}=\frac{1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{1}{1-\sqrt{x}}$
Tương tự
$\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}=\frac{1}{1-\sqrt{y}}$
$\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}=\frac{1}{1-\sqrt{z}}$
Nên áp dụng BĐT Shwarz ta có
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}$
= $\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{1}{1-\sqrt{y}}+\frac{1}{1-\sqrt{z}}\geq \frac{9}{3-(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}$ $\geq \frac{9}{3-\sqrt{3}} =\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow dpcm$
------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 11:38

[Katyusha]

$ 0<\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3}$


$\frac{1}{1-\sqrt{x}}+\frac{1}{1-\sqrt{y}}+\frac{1}{1-\sqrt{z}}\geq \frac{9}{3-(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}$

Đoạn này bị ngược dấu rồi bạn ơi

[triethuynhmath]

Đoạn này bị ngược dấu rồi bạn ơi

Sao lại ngược dấu , cauchy-schwarz dạng Engel quá chuẩn mà

[Katyusha]

Sao lại ngược dấu , cauchy-schwarz dạng Engel quá chuẩn mà

À mình quote thiếu. Đúng ra là đoạn đánh giá sau mới bị ngược dấu

[davildark]

Bài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$

$$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{9}{2}$$
$\frac{\sqrt{x}}{y+z}=\frac{\sqrt{x}}{1-x}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( Chứng minh bằng tương đương )
Làm tương tự cộng với trên có Q.E.D

[triethuynhmath]

$$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{9}{2}$$
$\frac{\sqrt{x}}{y+z}=\frac{\sqrt{x}}{1-x}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( Chứng minh bằng tương đương )
Làm tương tự cộng với trên có Q.E.D

Lạ nhỉ,phần này mình biến đổi <=> ra là $\sqrt{3}x+2\sqrt{x}-\sqrt{3}\geq 0$
Đến đây sao làm tiếp hả bạn