Chủ đề này có 1115 trả lời

[davildark]

Bài 444 . Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$2\left ( \frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca} \right )\geq \sqrt{ \frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$$

Mình post lại bài này tại vì mất nút xóa rùi có nút xóa mình sẽ xóa post cũ

Ta có
$$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})=\frac{3}{2}$$ (1)

$$\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+3abc}=\frac{(ab++bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{1}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{4}$$ (2)
Từ (1) và (2) $$ \Rightarrow 2\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{3}{2}\geq \sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}$$
Dấu = xảy khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[triethuynhmath]

Cách khác:
Theo chứng minh (2) của bạn davildark,ta có :
$\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{3}{4}$.
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có:
$\frac{ab}{ab+c}+\frac{1}{4}\geq \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}$
Tương tự cho 2 biểu thức còn lại rồi cộng vế theo vế,ta có
$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}\leq \sum \frac{ab}{ab+c}+\frac{3}{4}\leq 2\sum \frac{ab}{ab+c}$(Q.E.D)
P/s:Thành thật xin lỗi bạn davildark vì mình đã"ăn cắp bản quyền" của bạn ở phần (2) vì mình không biết chứng minh nó,may sao bạn giải được

[davildark]

Bài 443 . Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{2(a^3+1)+b^3+c^3}\leq \frac{1}{2}$$

Ta có
$$2(a^3+1)+b^3+c^3=a^3+b^3+a^3+c^3+2\geq ab(a+b)+abc+ac(a+c)+abc=a(b+c)(a+b+c)\geq 2a\sqrt{bc}(a+b+c)$$
$$\Rightarrow \sum \frac{1}{2(a^3+1)+b^3+c^3}\leq \sum \frac{1}{2a\sqrt{bc}(a+b+c)}=\sum \frac{\sqrt{bc}}{2(a+b+c)}\leq \frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 13-07-2012 - 17:38

[WhjteShadow]

Tiếp tục nhé.
Bài 442 . Cho $a,b,c > 0$ và $a^3+b^3+c^3\leq 3$. Chứng minh rằng:
$$\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\leq \frac{3}{2}$$
Bài 443 . Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh:
$$\sum \frac{1}{2(a^3+1)+b^3+c^3}\leq \frac{1}{2}$$

Bài 442:
Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ ta sẽ dùng bđt $Cauchy$ để đưa bđt về dạng quen thuộc:
$\frac{ab}{\sqrt{3+c}}\leq \frac{1}{4}ab+\frac{ab}{3+c}$
Tương tự rồi cộng lại ta có:
$$\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{ac}{\sqrt{3+b}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}\leq \frac{1}{4}(ab+bc+ca)+\frac{ab}{3+c}+\frac{ac}{3+b}+\frac{bc}{3+a}$$
Và muốn chứng minh $\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{ac}{\sqrt{3+b}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}\leq \frac{3}{2}$ ta sẽ chứng minh 2 bđt sau:
$\frac{1}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{3}{4}$ (1)
Và $\frac{ab}{3+c}+\frac{ac}{3+b}+\frac{bc}{3+a}\leq \frac{3}{4}$ (2)
Thật vậy áp dụng bđt $Cauchy$ 3 số ta có:
$3(ab+bc+ca)\leq a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1=9\to ab+bc+ca\leq 3$ Từ đó (1) được chứng minh.
Và ta lại thấy: $3(a+b+c)\leq a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1=9\to a+b+c\leq 3$
$\to \frac{ab}{3+c}+\frac{ac}{3+b}+\frac{bc}{3+a}\leq \frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{ac}{a+b+b+c}+\frac{bc}{b+a+c+a}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)\leq \frac{3}{4}$
Vậy cả bđt (1),(2) đã đc chứng minh.Bài toán hoàn tất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-07-2012 - 17:43

[Ispectorgadget]

Bài 446: Cho các số thực dương $u,v,w$ sao cho $u+v+w+\sqrt{uvw}=4$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{uv}{w}}+\sqrt{\frac{vw}{u}}+\sqrt{\frac{wu}{v}}\ge u+v+w$$

China TST 2007

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 446: Cho các số thực dương $u,v,w$ sao cho $u+v+w+\sqrt{uvw}=4$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{uv}{w}}+\sqrt{\frac{vw}{u}}+\sqrt{\frac{wu}{v}}\ge u+v+w$$

China TST 2007

Đặt $ \sqrt{\frac{uv}{w}}= a,\sqrt{\frac{vw}{u}}= b,\sqrt{\frac{wu}{v}}= c $ .
Bài toán trỏ thành :
Cho : $ ab+bc+ca+abc=4 $
CMR : $ a+b+c \geq ab+bc+ca $
Và đây là bàj VietNam 1996 quen thuộc !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 14-07-2012 - 10:21

[BlackSelena]

Đặt $ \sqrt{\frac{uv}{w}}= a,\sqrt{\frac{vw}{u}}= b,\sqrt{\frac{wu}{v}}= c $ .
Bài toán trỏ thành :
Cho : $ ab+bc+ca+abc=4 $
CMR : $ a+b+c \geq ab+bc+ca $
Và đây là bàj VietNam 1996 quen thuộc !

Em chẳng thấy quen chút nào
Thử dùng Schur xem
$ab+bc+ca+abc =4$
$\Rightarrow abc \leq 1$
$\Rightarrow a+b+c \geq 3$
Đặt $p = a+b+c; q = abc; r=ab+bc+ca$
Ta cần chứng minh $p \geq r$
Theo bđt $Schur$ có:
$p^2 + 9q \geq 4pr$
$\Leftrightarrow \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq r$
Ta c/m $p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}$
$\Leftrightarrow (4-p)(p^2-9) \geq 0:true \text{ do } 4 \geq p \geq 3$
$Q.E.D$

[Secrets In Inequalities VP]

Đặt $ \sqrt{\frac{uv}{w}}= a,\sqrt{\frac{vw}{u}}= b,\sqrt{\frac{wu}{v}}= c $ .
Bài toán trỏ thành :
Cho : $ ab+bc+ca+abc=4 $
CMR : $ a+b+c \geq ab+bc+ca $
Và đây là bàj VietNam 1996 quen thuộc !

Một cách CM khác cho VN96 :
Theo nguyên tắc đi-dép-lê : thì tồn tại 2 trong 3 số : $ a-1;b-1;c-1 $ cùng dấu :
G/sủ là a-1 và b-1
$ \Rightarrow (a-1)(b-1) \geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc $
$ \Leftrightarrow abc+c+ab\geq ab+bc+ca $
Ta sẽ CM : $ a+b+c\geq abc+c+ab\Leftrightarrow a+b\geq abc+ab $ (1)
Rút c tù GT : $ c= \frac{4-ab}{a+b+ab} $
(1) $ \Leftrightarrow a+b\geq \frac{ab(4-ab)}{a+b+ab}+ab\Leftrightarrow (a+b)(a+b+ab)\geq 4ab-(ab)^2+ab(a+b+ab) $
$ \Leftrightarrow (a+b)^{2}+ab(a+b)\geq 4ab-(ab)^2+ab(a+b)+(ab)^2\Leftrightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab $
$ \Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0 $
(luôn đúng )

[Dung Dang Do]

bai 447:$x,y,z>0$cmr :$$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z} \ge \frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)$$

[WhjteShadow]

Chú Dũng gõ sai đề rồi :-w

[Cao Xuân Huy]

bai 447:$x,y,z>0$cmr :$$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z} \ge \frac{2}{\sqrt{3}}(x+y+z)$$

$(x;y;z)=(6;1;5)$ thì $VT<VP$ nên đề sai.

[tkvn97]

Bài 448. Cho các số thực a , b, c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2} =6& \\ ab+bc+ca=-3& \end{matrix}\right.$.
Tìm giá trị lớn nhất của A = $a^{6}+b^{6}+c^{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 14-07-2012 - 17:26

[WhjteShadow]

Bài 448:
Thực ra những bài dạng này đều chỉ là viết lại biểu thức cần xét về 1 biến và xét lấy khoảng của biến đấy cuối cùng khảo sát hàm số mà thôi!Cũng giống như đề khi ĐH khổi B năm nay vậy!
Do 2 cái điều kiện củ chuối kia mà ta có được $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\Leftrightarrow a+b+c=0$
Làm bước 2 trc ch0 dễ:Ta sẽ tìm khoảng của $a$:
$a^2=(b+c)^2\leq 2(b^2+c^2)=2(6-a^2)$
$\to 3a^2\leq 12\to a^2\leq 4\to -2\leq a\leq 2$
Bước 1:Viết lại $A$ về the0 ẩn $a$:
Mà đùa à cái này bậc chắn(6) tý viết ra bậc của $a$ là 6 thì khảo sát vượt quá tầm THCS.
Bài điên vãi!Thôi không làm nứa có hướng đấy bạn nào làm hộ tớ cái nha =;

[tkvn97]

Bài 448:
Thực ra những bài dạng này đều chỉ là viết lại biểu thức cần xét về 1 biến và xét lấy khoảng của biến đấy cuối cùng khảo sát hàm số mà thôi!Cũng giống như đề khi ĐH khổi B năm nay vậy!
Do 2 cái điều kiện củ chuối kia mà ta có được $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\Leftrightarrow a+b+c=0$
Làm bước 2 trc ch0 dễ:Ta sẽ tìm khoảng của $a$:
$a^2=(b+c)^2\leq 2(b^2+c^2)=2(6-a^2)$
$\to 3a^2\leq 12\to a^2\leq 4\to -2\leq a\leq 2$
Bước 1:Viết lại $A$ về the0 ẩn $a$:
Mà đùa à cái này bậc chắn(6) tý viết ra bậc của $a$ là 6 thì khảo sát vượt quá tầm THCS.
Bài điên vãi!Thôi không làm nứa có hướng đấy bạn nào làm hộ tớ cái nha =;

--------------------
Nếu khảo sát hàm số thì vươtk qus chưuowng trình THCS . NHưng bài này còn có thể đi theo hướng khác .

[WhjteShadow]

--------------------
Nếu khảo sát hàm số thì vươtk qus chưuowng trình THCS . NHưng bài này còn có thể đi theo hướng khác .

Hì tớ k biết.P0st lên ch0 mọi người thưởng thức đi

[tkvn97]

Hì tớ k biết.P0st lên ch0 mọi người thưởng thức đi

Tham khảo cách giải tại đây http://diendantoanho...397#entry335710

[Tham Lang]

Bài toán 449.
Cho các số thực duơng $x_1, x_2, ..., x_n$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x_1}{\sqrt{x_1x_2+x_2^2}}+\dfrac{x_2}{\sqrt{x_2x_3+x_3^2}}+...+\dfrac{x_n}{\sqrt{x_nx_1+x_1^2}} \ge \dfrac{n}{\sqrt{2}}$$

[tkvn97]

Bài 450 : Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ thì
$\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})\geq 4$

[ducthinh26032011]

Bài 450 : Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ thì
$\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$+$(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})$ $\geq 4$

Có cái ngoặc chi thế bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 15-07-2012 - 16:49

[kevinkernpham]

Bài 451: cho a,b,c là các số thực dương thỏa a² + b² +c² = 27 tìm min S=a³+b³+c³