Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...x_{n}(n \ge 2)$.Chứng minh rằng:
$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x^2_{k} \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2} \right)+\frac{n(n^2+9n-18)}{n-1} \ge 4\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k} \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}} \right)$$

Nguồn:Nguyễn Bảo Phúc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-01-2012 - 08:23

[dark templar]

Đây là 1 BĐT mình làm chặt lại từ bài toán nổi tiếng sau:
Bài toán 2: Cho $n>2$ và $x_{i}>0(i=\overline{1;n})$ thỏa mãn:
$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k} \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}} \right)=n^2+1$$
Chứng minh rằng:
$$\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^2 \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2} \right)>n^2+4+\frac{2}{n(n-1)}$$
Và điều quan trọng là bài toán ban đầu của mình còn đúng cho cả số thực

[dark templar]

Các bạn xem 1 lời giải đơn giản(của bác Potla) ở đây :
http://www.artofprob...p?f=52&t=460279
Bài này mình còn 1 lời giải nữa,nhưng tính toán hơi nhiều,các bạn thử suy nghĩ đi nhé
P/s:Khoảng cuối tuần,nếu không có ai giải thì mình sẽ post luôn đáp án

[dark templar]

1 bài toán mở :
Bài toán mở: Cho $x_{i} \in \mathbb{R}(i=\overline{1;n};n \ge 2)$.Ta đặt:
$$A_{r}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{r} \right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{r}} \right)(r>0)$$
Hãy tìm điều kiện của $r$ và xác định hàm số $f(r;n)$ để BĐT sau đúng $\forall x_{i}$:
$$A_{r}+f(r;n) \ge A_1$$