Bài toán: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2\left(x+\frac{3}{x} \right)$$
$$\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2\left(x+\frac{3}{x} \right)$$
Bắt đầu bởi dark templar, 24-02-2012 - 20:19
Vui ^_^
#1
Đã gửi 24-02-2012 - 20:19
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 26-02-2012 - 02:13
Giải:Bài toán: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2\left(x+\frac{3}{x} \right)$$
Điều kiện x khác 0
PT đã cho $$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2.\frac{x^2+3}{x}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2+3}{\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+3}}=\frac{2.(x^2+3)}{x}$$
$$\Leftrightarrow 2(\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+3})=x(1)$$
Do $VT>0$ nên $x>0$
$$(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+x+6}=2\sqrt{x^2+x+3}+3\Leftrightarrow 4(2x^2+x+6)=4(x^2+x+3)+x^2+4x\sqrt{x^2+x+3}$$
$$\Leftrightarrow 3x^2+12=4x\sqrt{x^2+x+3}\Leftrightarrow 7x^4+16x^3-24x^2-144=0$$
$$\Leftrightarrow (x-2)(7x^3+30x^2+36x+72)=0$$
\[
\left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0 \\
7x^3 + 30x^2 + 36x + 72 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 \\
7x^3 + 30x^2 + 36x + 72 = 0(l) \\
\end{array} \right.
\]
Do $g(x)=7x^3+30x^2+36x+72>0$
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
=====================
Làm bài này mệt thật may có nghiệm x=2 nên tách được
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#4
Đã gửi 26-02-2012 - 09:50
Cách làm của bạn khá hay .Tặng bạn 1 bài pp gần giống như vậy.
1:Giải hpt:
$ \sqrt{x^2+91}= \sqrt{y-2}+y^2$
và $ \sqrt{y^2+91}= \sqrt{x-2}+x^2$
2:Gpt:
$ 10(x^2-2x+1)(x^2-5x+6)=(x-1) \sqrt{2x-4} - (2x-4) \sqrt{x-1} $
1:Giải hpt:
$ \sqrt{x^2+91}= \sqrt{y-2}+y^2$
và $ \sqrt{y^2+91}= \sqrt{x-2}+x^2$
2:Gpt:
$ 10(x^2-2x+1)(x^2-5x+6)=(x-1) \sqrt{2x-4} - (2x-4) \sqrt{x-1} $
#5
Đã gửi 27-02-2012 - 22:37
Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2\\\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{x - 2} + x^2 \
\end{matrix}\right.$$
Giả sử $x \geq y > 0 \Rightarrow x^2 + \sqrt{x - 2} \geq y^2 + \sqrt{y - 2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} \geq \sqrt{x^2 + 91}$
$\Leftrightarrow y^2 \geq x^2 \Leftrightarrow y \geq x$
Vậy x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ (1) của hệ, (1) tương đương:
$\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2
\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} - 10 = \sqrt{y - 2} - 1 + y^2 - 9 $
$\Leftrightarrow \dfrac{y^2 - 9}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} = \dfrac{y - 3}{\sqrt{y - 2} + 1} + (y - 3)(y + 3)= 0$
$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)(\dfrac{1}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} - 1) - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} + 1}]= 0$
$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1}] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 3 ™\\(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1} = 0 \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$
Nhận thấy: $\forall y \geq 2 \Rightarrow VT_{(2)} < 0 = VF$. Vậy (2) vô nghiệm
Hệ ban đầu có nghiệm x = y = 2
Câu 2: Giải phương trình:
$10(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)\sqrt{2x - 4} + (2x - 4)\sqrt{x - 1}$
Phương trình $\Leftrightarrow 10\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}(\sqrt{x -1} - \sqrt{2x - 4})$
$\Leftrightarrow 0\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}\frac{- x + 3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}}$
* Nhận thấy: x = 2; 3 là nghiệm của phương trình.
* Với $x \neq 1; 2; 3$ chia hai vế của phương tình cho:$ \sqrt{\left ( x - 1 \right )\left ( x - 2 \right )}\left ( x - 3 \right ).$
Phương trình tương đương:
$10\sqrt{\left ( x - 1 \right )^3\left (x - 2 \right )} = \sqrt{2}\frac{-1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}} \,\,\,\,\,\,\,(2)$
$\forall x \geq 2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
VT \geq 0\\ VF < 0
\end{matrix}\right.$
Vậy $VT \geq VF \Rightarrow$ (2) vô nghiệm
Phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2 và x = 3
$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2\\\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{x - 2} + x^2 \
\end{matrix}\right.$$
Giải
ĐK: $x, y \geq 0$Giả sử $x \geq y > 0 \Rightarrow x^2 + \sqrt{x - 2} \geq y^2 + \sqrt{y - 2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} \geq \sqrt{x^2 + 91}$
$\Leftrightarrow y^2 \geq x^2 \Leftrightarrow y \geq x$
Vậy x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ (1) của hệ, (1) tương đương:
$\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2
\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} - 10 = \sqrt{y - 2} - 1 + y^2 - 9 $
$\Leftrightarrow \dfrac{y^2 - 9}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} = \dfrac{y - 3}{\sqrt{y - 2} + 1} + (y - 3)(y + 3)= 0$
$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)(\dfrac{1}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} - 1) - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} + 1}]= 0$
$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1}] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 3 ™\\(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1} = 0 \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$
Nhận thấy: $\forall y \geq 2 \Rightarrow VT_{(2)} < 0 = VF$. Vậy (2) vô nghiệm
Hệ ban đầu có nghiệm x = y = 2
Câu 2: Giải phương trình:
$10(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)\sqrt{2x - 4} + (2x - 4)\sqrt{x - 1}$
Giải
ĐK: $x \geq 2$Phương trình $\Leftrightarrow 10\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}(\sqrt{x -1} - \sqrt{2x - 4})$
$\Leftrightarrow 0\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}\frac{- x + 3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}}$
* Nhận thấy: x = 2; 3 là nghiệm của phương trình.
* Với $x \neq 1; 2; 3$ chia hai vế của phương tình cho:$ \sqrt{\left ( x - 1 \right )\left ( x - 2 \right )}\left ( x - 3 \right ).$
Phương trình tương đương:
$10\sqrt{\left ( x - 1 \right )^3\left (x - 2 \right )} = \sqrt{2}\frac{-1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}} \,\,\,\,\,\,\,(2)$
$\forall x \geq 2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
VT \geq 0\\ VF < 0
\end{matrix}\right.$
Vậy $VT \geq VF \Rightarrow$ (2) vô nghiệm
Phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2 và x = 3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-02-2012 - 22:55
- Ispectorgadget yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
#6
Đã gửi 05-03-2012 - 22:06
Anh trình bày dùm em cách dùng đạo hàm được không em biến đổi mà không ra.Bài này còn 1 cách giải xài BĐT chứng minh đạo hàm dương,suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất Kiên thử suy nghĩ đi nhé
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Vui ^_^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các dạng toán khác →
$$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}\cos{kx}=0$$Bắt đầu bởi dark templar, 25-07-2012 vui ^_^ |
|
|||
Thảo luận chung →
Toán học lý thú →
IQ và Toán thông minh →
Giả sử bạn tham gia vào một cuộc chiến tử thần...Bắt đầu bởi tieulyly1995, 05-04-2012 vui ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}+ab^2 \ge \sqrt{3(1+a^2+b^2)}$$Bắt đầu bởi dark templar, 26-02-2012 Vui ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$b-\frac{1}{a^2+b^2} \le \frac{1}{2}$$Bắt đầu bởi dark templar, 26-02-2012 Vui ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
BẤT ĐẲNG THỨC 8Bắt đầu bởi dark templar, 25-01-2012 Vui ^_^ |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh