Chủ đề này có 211 trả lời

[cAnmOtkhOaNglAng]

cho p=a+b^c ; q=b+c^a ; r=c+a^b là các số nguyên tố (a,b,c >0). chứng minh rằng trong 3 số p,q,r có ít nhất 2 sô bằng nhau

[cAnmOtkhOaNglAng]

tìm các số nguyên tố p sao cho 2 số 2(p+1) và 2(p²+1) là 2 số chính phương

[nvhmath]

Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa $x+3=2^y$ và $3x+1=4^z$

Từ đề bài ta có $3\cdot 2^y-8=4^z=2^{2z}\Leftrightarrow 3\cdot 2^y=2^{2z}+2^3$
$2z<3$ thì $z=0$ ta có điều mâu thuẫn, hoặc $z=1$ suy ra $y=2$ và $x=1$.
$2z>3$ thì $3\cdot 2^y=(2^{2z-3}+1)\cdot 2^3$ suy ra $y=3, z=2$ và $x=5$
Vậy $x=1, x=5$.

[nguyenta98]

tìm các số nguyên tố p sao cho 2 số 2(p+1) và 2(p²+1) là 2 số chính phương

Bài này quen thuộc rồi
Giải như sau:
$2(p+1)=a^2,2(p^2+1)=b^2$ nên $a=2x,b=2y$
Suy ra $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2 \Rightarrow p(p-1)=2(y-x)(y+x)$ thấy $p=2$ không là nghiệm nên $p>2$ nên $gcd(p,2)=1$
Do đó $y-x \vdots p$ hoặc $y+x \vdots p$ nếu $y-x \vdots p$ thì $2(y-x)\geq 2p$ thì $y+x\le p-1<p\le y-x$ vô lí
Suy ra $y+x \vdots p$ mà $p+1=2x^2,p^2+1=2y^2$ nên $x,y<p$ do đó $x+y<2p$ nên $x+y=p$
Nên $p(p-1)=2(y-x)p \Rightarrow 2(y-x)=p-1$ suy ra $2(p-2x)=p-1 \Rightarrow 2p-4x=p-1 \Rightarrow p+1=4x \Rightarrow x=\dfrac{p+1}{4}$ thay vào $p+1=\left(\dfrac{p+1}{4}\right)^2$ giải pt bậc hai ra nghiệm $x=2,y=5$ và suy ra $p=7$
Vậy $\boxed{p=7}$

[Oral1020]

Bài toán:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số,chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị,chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp

[tramyvodoi]

Bài toán:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số,chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị,chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp

Rất dễ, chỉ cần dùng cách giới hạn khoảng giá trị của $3$ số nguyên tố đó.
Gọi số cần tìm là $\overline{abba}$ $\left ( a \not = 0 ; a, b < 10 \right )$.
Đặt $\overline{abba} = xyz$ $\left ( x, y, z \in \mathbb{P} \right )$.
Giả sử $x < y < z$.
Sau khi giới hạn khoảng giá trị của nó ta được : $z < 29$.
Bây giờ thì bạn thử thôi, ít số nguyên tố mà !
Sau khi thử, ta được :$\overline{abba} = xyz = 7.11.13 = 1001$, thỏa mãn đề bài.
Vậy số cần tìm là $1001$.

[tramyvodoi]

*Bài toán :
Tìm các chữ số $a, b, c, d$ sao cho số $A = ab + bc + cd + da$ là số nguyên tố.
*Chú ý : Bài toán đánh dấu * là bài toán khó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 17:48

[DarkBlood]

*Bài toán :
Tìm các chữ số $a, b, c, d$ sao cho số $A = \overline{ab} + \overline{bc} + \overline{cd} + \overline{da}$ là số nguyên tố.
*Chú ý : Bài toán đánh dấu * là bài toán khó.

Từ đề ra, ta có: $a,b,c,d\in N^*$.
Ta có:
$A = \overline{ab} + \overline{bc} + \overline{cd} + \overline{da}$
$=10a+b+10b+c+10c+d+10d+a$
$=11(a+b+c+d)$
Vì $A$ là số nguyên tố nên $a+b+c+d=1.$
Mà $a,b,c,d\in N^*$ nên không có các chữ số $a,b,c,d$ sao cho $A = \overline{ab} + \overline{bc} + \overline{cd} + \overline{da}$ là số nguyên tố.
________________________________________________________________
@tramy : Thực sự sorry em, chị đã post nhầm đề. Mong em cố sửa lại !
@HHT: Không sao đâu chị . Nhưng cho em hỏi $a,b,c,d$ là chữ số hay là số.
@tramy : Là số em ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 07-12-2012 - 18:22

[Oral1020]

Bài toán:
Số tự nhiên $n$ chỉ chứa hai thừa số nguyên tố.Biết rằng $n^2$ có 21 ước số.Hỏi số $n^3$ có bao nhiêu ước số?

[Joker9999]

Bài toán:
Số tự nhiên $n$ chỉ chứa hai thừa số nguyên tố.Biết rằng $n^2$ có 21 ước số.Hỏi số $n^3$ có bao nhiêu ước số?

Giải như sau:
Do khi phân tích n dưới dạng tiêu chuẩn chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố, gọi số mũ của nó là x và y với x,y>0.
Ta có:
$(2x+1)(2y+1)=21$ dễ có $(x,y)=(1,3)$ hoac ngược lại
Do vậy $n^3$ có $(3.1+1)(3.3+1)=40$ ước

[chrome98]

P: Chứng minh rằng trong $16$ số nguyên dương liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên tố cùng nhau với tất cả các số còn lại.

[Oral1020]

Bài đó đã được giải tại đây
_____________________________________________________________________________________
Bạn Oral1020 thân mến, mình có điều này muốn hỏi bạn : Chẳng lẽ bạn chỉ cố tìm kiếm trên mạng để xem xem bài toán đó đã được giải chưa hay sao ? Như thế nghĩa là bạn chỉ cố kiếm thêm bài viết đúng không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 08-12-2012 - 14:41

[tramyvodoi]

Tìm các số nguyên tố $p$$,$ $q$ sao cho $7p + q$ và $pq + 17$ đều là các số nguyên tố.

[Oral1020]

$a)$ Dễ thấy $p$ và $q$ có một số chẵn hoặc một số lẻ.
$TH1:$ $p$ chẵn mà $p$ là số nguyên tố nên $p=2.$
Xét $q=3k,$ vì $q$ là số nguyên tố nên $q=3.$ Ta có: $7p+q=14+3=17$ $($là số nguyên tố$)$
Xét $q=3k+1.$ Ta có: $7p+q=14+3k+1=15+3k$ $\vdots$ $3$ $($là hợp số, loại$)$
Xét $q=3k+2.$ Ta có: $pq+11=2(3k+2)+2=6k+4+2=6k+6$ $\vdots$ $3$ $($là hợp số, loại$)$
Vậy $p=2,$ $q=3.$

$TH2:$ $q$ chẵn mà $q$ là số nguyên tố nên $q=2.$
Xét $p=3k,$ vì $p$ là số nguyên tố nên $p=3.$ Ta có: $7p+q=21+2=23$ $($là số nguyên tố$)$
Xét $p=3k+1.$ Ta có: $7p+q=7(3k+1)+2=21k+9$ $\vdots$ $3$ $($là hợp số, loại$)$
Xét $p=3k+2.$ Ta có: $pq+11=2(3k+2)+2=6k+4+2=6k+6$ $\vdots$ $3$ $($là hợp số, loại$)$
Vậy $q=2,$ $p=3.$

Vậy để $7p+q$ và $pq+11$ là số nguyên tố thì $p=2,$ $q=3$ hoặc $q=2,$ $p=3.$

Của chú Hoang Huy Thong
-------
Chị đừng có nói giống trên nữa nhé

[Khanh 6c Hoang Liet]

Của chú Hoang Huy Thong
-------
Chị đừng có nói giống trên nữa nhé

Chị ấy nói là $pq + 17$ chứ không phải $pq + 11$ bạn à !

[Đoàn Quốc Việt]

Bài tập: Cho $p$ và $p + 8$ đều là số nguyên tố $( p > 3)$. Hỏi $p + 100$ là số nguyên tố hay hợp số?

[Zaraki]

Bài tập: Cho $p$ và $p + 8$ đều là số nguyên tố $( p > 3)$. Hỏi $p + 100$ là số nguyên tố hay hợp số?

Với $p=3$ thì $p+100=103$ nguyên tố.
Với $p=3k+1$ thì $p+8=3(k+3)$ là hợp số, loại.
Với $p=3k+2$ thì $p+100=3(k+34$ là hợp số.

[DarkBlood]

Bài tập: Cho $p$ và $p + 8$ đều là số nguyên tố $( p > 3)$. Hỏi $p + 100$ là số nguyên tố hay hợp số?

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p=3k\pm 1$ $(k\in N^*)$
Xét $p=3k+1,$ ta có:
$p+8=3k+9$ $\vdots$ $3$ $($loại$)$
Do đó $p=3k-1$
Ta có: $p+100=3k+99$ $\vdots$ $3,$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 20-01-2013 - 20:26

[Khanh 6c Hoang Liet]

Bài tập: Cho $p$ và $p + 8$ đều là số nguyên tố $( p > 3)$. Hỏi $p + 100$ là số nguyên tố hay hợp số?

Do $p \in \mathbb{P}$ và $p > 3$ nên $p = 3k + 1$ $,$ $3k + 2$ $(k \in \mathbb{N}^*)$.
Với $p = 3k + 1$ thì $p + 8 = 3k + 9$ $\vdots$ $3$, loại.
Với $p = 3k + 2$ thì $p + 100 = 3k + 102 = 3(k + 34)$ $\vdots$ $3$.
Vậy, $p + 100$ là hợp số.

Với $p=3$ thì $p+100=103$ nguyên tố.
Với $p=3k+1$ thì $p+8=3(k+3)$ là hợp số, loại.
Với $p=3k+2$ thì $p+100=3(k+34$ là hợp số.

Không xét trường hợp $p = 3$ vì đề bài cho biết $p > 3$.

Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p=3k\pm 1$ $(k\in N^*)$
Xét $p=3k+1,$ ta có:
$p+8=3k+9$ $\vdots$ $3$ $($loại$)$
Do đó $p=3k-1$
Ta có: $p+100=3k+99$ $\vdots$ $3,$ là hợp số.

Nếu $k = 1$ thì $p = 3k - 1 = 2 < 3$ (không xét vì đề bài cho biết $p > 3$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-04-2015 - 20:02

[minhtuyb]

Bài toán: Giải hệ phương trình sau trên tập các số nguyên tố:
$$\left\{\begin{matrix}x=2t^2-1\\ y=3t^2-2\\ z=4t^2-3\end{matrix}\right.$$