Chủ đề này có 211 trả lời

[PTKBLYT9C1213]

Tìm n nguyên dương để n³⁰²+n³⁰¹+1 là hợp số

[vuongquoc265]

Bài 1: Cho a > b > c > d ( a,b,c,d $\epsilon \mathbb{N}$ ) thỏa mãn ac + bd = ( b + d + a - c )( b + d - a + c ). CMR : ab + cd là hợp số.

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của $\Delta$. CMR: nếu a+b là ước lẻ của a(b-c)$^{2}$ + b(a-c)$^{2}$ + c(a-b)$^{2}$ thì a+b là hợp số.

Bài 3: Cho các số : p=b$^{c}$+a , q=a$^{b}$+c , r=c$^{a}$+b là các số nguyên tố ( a,b,c $\epsilon \mathbb{N}$* ). CMR : trong 3 số p,q,r có ít nhất 2 số bằng nhau.

[4869msnssk]

Cho a,b,c,d là các số nguyên dương thoã mãn ac=bd. Chứng minh a+b+c+d là hợp số

đề bài sai rồi

VD: a=-1, c=1; b=-1;d=1 thì a+b+c+d=0 không là hợp số

p/s: thêm điều kiện

[LumiseEdireKRN]

Tìm n nguyên dương để n³⁰²+n³⁰¹+1 là hợp số

Với n = 1 thì $$n^{302}+n^{301}+1=3$$ là số nguyên tố

Với n > 1 thì $$n^{302}+n^{301}+1=n^{302}-n^{2}+n^{301}-n+n^{2}+n+1=n^{2}(n^{300}-1)+n(n^{300}-1)+(n^{2}+n+1)$$

$$n^{3} \equiv 1 (mod n^{3}-1) \Rightarrow (n^{3})^{100}=n^{300} \equiv 1 (mod n^{3}-1) \Rightarrow n^{300}-1 \vdots n^{3}-1$$

mà $$n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1) \vdots n^{2}+n+1 \Rightarrow n^{300}-1 \vdots n^{2}+n+1$$

$$ \Rightarrow n^{302}+n^{301}+1$$

$$=n^{2}(n^{300}-1)+n(n^{300}-1)+(n^{2}+n+1) \vdots n^{2}+n+1$$ là hợp số

Vậy n > 1 thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LumiseEdireKRN: 03-05-2013 - 15:43

[phatthemkem]

Cho $a,b,c\epsilon \mathbb{N}$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ là bình phương số nguyên tố

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow ac+bc-ab=0$

Nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b-c)^2+2(ac+bc-ab)=(a+b-c)^2$

 

 

Bạn xem lại đề nhá, với $a=b=6$ và $c=3$ thì $a^2+b^2+c^2=9^2$ không phải là bình phương của số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 03-05-2013 - 18:25

[Trang Luong]

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow ac+bc-ab=0$

Nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b-c)^2+2(ac+bc-ab)=(a+b-c)^2$

 

 

Bạn xem lại đề nhá, với $a=b=6$ và $c=3$ thì $a^2+b^2+c^2=9^2$ không phải là bình phương của số nguyên

Mình sorry mọi người nhé. Thay bằng bình phương của một số nguyên

[phatthemkem]

1) Cho $p$ là số nguyên tố, nếu một trong hai số $8p+1,8p-1$ là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số.

2) Tìm $n$ nguyên dương để $n^{1987}+n^{1988}+1$ là số nguyên tố.

3) Chứng minh rằng số có dạng $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 04-05-2013 - 05:54

[4869msnssk]

tìm các số nguyên tố p,q thoả mãn

$p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$

[DarkBlood]

2) Tìm $n$ nguyên dương để $n^{1987}+n^{1988}+1$ là số nguyên tố.

Bổ đề: Với mọi số nguyên $m$ và $n$ ta luôn có $x^{3m+1}+x^{3n+2}+1$ chia hết cho $x^2+x+1.$

Chứng minh: 

$x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-x^2-x+x^2+x+1=x(x^{3m}-1)+x^2(x^{3n}-1)+(x^2+x+1)$

Ta thấy $x^{3m}-1$ và $x^{3n}-1$ chia hết cho $x^3-1$ nên cũng chia hết cho $x^2+x+1$

Vậy $x^{3m+1}+x^{3n+2}+1$ chia hết cho $x^2+x+1.$

 

Quay lại bài toán, ta có: $1987$ và $1988$ lần lượt chia $3$ dư $1$ và $2$ nên theo bổ đề $n^{1987}+n^{1988}+1\ \vdots\ n^2+n+1$

Do đó để $n^{1987}+n^{1988}+1$ là số nguyên tố thì $n^2+n+1=n^{1987}+n^{1988}+1$ hoặc $n^2+n+1=1$

 

Trường hợp 1:

$n^2+n+1=n^{1987}+n^{1988}+1$

$\Leftrightarrow n^2+n=n^{1987}+n^{1988}$

$\Leftrightarrow (n-1)(n^{1986}-1)=0$ $(n>0)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n-1=0 \\ n^{1986}-1=0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow n=1\ (n>0)$

Thứ lại thấy đúng.

 

Trường hợp 2:

$n^2+n+1=1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n=0 \\ n=-1 \end{array} \right.$ $($Loại vì $n>0)$

 

Vậy với $n=1$ thì $n^{1987}+n^{1988}+1$ là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 10-05-2013 - 23:38

[4869msnssk]

1) Cho $p$ là số nguyên tố, nếu một trong hai số $8p+1,8p-1$ là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số.

 

nếu p=2 thì có một số trong hai số trên là số nguyên tố.

nếu p=3 thì có một số trong hai số trên là số nguyên tố.

nếu p>3 thì :

+) nếu $p\equiv 1(mod3)\Rightarrow 8p+1\vdots 3;8p-1\equiv 7(mod3)$

tương tự ta thấy nếu một trong hai số là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số

[Trang Luong]

nếu p=2 thì có một số trong hai số trên là số nguyên tố.

nếu p=3 thì có một số trong hai số trên là số nguyên tố.

nếu p>3 thì :

+) nếu $p\equiv 1(mod3)\Rightarrow 8p+1\vdots 3;8p-1\equiv 7(mod3)$

tương tự ta thấy nếu một trong hai số là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số

Cách khác: Dễ hơn nhiu

Nếu $p=3\Rightarrow 8p-1=23,8p+1=25$ đúng

Nếu $p\neq 3\Rightarrow 8p\notin \mathbb{P}$, $8p$ ko chia hết cho 3

$\Rightarrow 8p-1,8p,8p+1$ là 3 số tự nhiên liên tiếp $\Rightarrow 8p-1,8p,8p+1$ sẽ có 1 sô chia hết cho 3$\Rightarrow 8p-1,8p+1$ sẽ có 1 sô là Hợp số

[Trang Luong]

xem và giải thích 

p là số nguyên tố, Nếu $p\neq 3\Rightarrow p$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow 8p$ không chia hết cho 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 14-05-2013 - 20:47

[duc12116]

tìm các số nguyên tố p,q thoả mãn

$p^{3}-q^{5}=(p+q)^{2}$

Sử dung lý thuyết đồng dư nha bạn. Xét tính chat chia hết cho 3 ấy suy ra một trong hai số p: q chia hết cho 3

Bài toán vô nghiệm cậu ạ

[Best Friend]

Tìm bộ 3 số nguyên tố khác nhau $(a,b,c)$ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}=c^{3}$

P/s: Làm nhiu cách khác nhau nhé 

[phatthemkem]

Tìm bộ 3 số nguyên tố khác nhau $(a,b,c)$ thỏa mãn $a^{3}+b^{3}=c^{3}$

P/s: Làm nhiu cách khác nhau nhé 

Cách 1 Xét $a=3$ ta có $27+b^3=c^3$, pt này dễ rồi

Xét $b=3,c=3$ ta cũng có như vậy

Xét $a,b,c\neq 3\Rightarrow a,b,c$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3\equiv 1(mod3)\\ b^3\equiv 1(mod3)\\ c^3\equiv 1(mod3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+b^3\equiv 2(mod3)\\ c^3\equiv 1(mod3) \end{matrix}\right.\Rightarrow$ pt vô nghiệm.

Cách 2   Vì $a,b,c$ nguyên tố nên ta có

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a+b=c\\ a^2-ab+b^2=c^2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a+b=c^2\\ a^2-ab+b^2=c \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a+b=c^3\\ a^2-ab+b^2=1 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

Các hệ pt này có rất nhiều cách giải khác nhau: thế, cộng, bình phương,... tùm lum hết!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 27-06-2013 - 20:16

[Nguyen Hong Dang]

$C/m:Moi$ $so$ $nguyen$ $duong$ $deu$ $viet$ $duoc$ $duoi$ $dang$ $tong$ $cua$ $cac$ $so$ $nguyen$ $to$ $phan$ $biet$ $hoac$ $tong$ $cua$ $mot$ $so$ $nguyen$ $to$ $voi$ $1$

[Phuong Thu Quoc]

Một bài toán khá hay mà mình sưu tầm được

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố

[Phuong Thu Quoc]

Em xin đóng góp một bài

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố 

[thaptam]

Tìm p nguyên tố sao cho:
$p^2$ +1994 nguyên tố


Cho p-10; p+10 ; p+60 là số nguyên tố.Chứng minh rằng p+90 nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-04-2015 - 19:57

[bubamdethuongnghean]

Đặt $3m^2+6n-61=3k+2 \ (k \in \mathbb{N}).$
Ta có $$A^2=3^{3k+2}+4=27^k.9+4.$$
Do $27 \equiv 1 \pmod{13}$ nên $27^k.9 \equiv 9 \pmod{13}$, nên $13 \mid A.$
Cho nên $A=13 \Rightarrow m^2+2n=21 \Rightarrow m^2<21$ và $m$ lẻ.
Từ đây ta tìm được $ \boxed{ (m,n) \in \{ (1,10),(3,6) \}}.$

Cách của anh làm đúng rồi nhưng anh có chỗ bị nhầm đề Chỗ nào sai em sửa còn chỗ nào đúng thì em vẫn giữ nguyên theo ý của anh
Đặt $3m²+6n-61=3k+2 (k \in N)$
Ta có: $A= 3^{3k+2}+4 = 9.27^k+4$
Do $27 \equiv 1 (mod 13)$ nên $9.27^k\equiv 9 (mod 13)$ nên $A|13$.
$\Rightarrow A=13\Rightarrow m^3+2n=21\Rightarrow m^3<21$ mà $m$ lẻ nên $m=1$.
Ta tìm được $(m,n)=(1,10)$.


Ai giải cho em bài này với:
Tìm tất cả số nguyên tố p để 2^p+3^p là số chính phương.
11

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 08-04-2015 - 19:58