Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2\left(x+\frac{3}{x} \right)$$

[Ispectorgadget]

Bài toán: Giải phương trình sau:
$$\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2\left(x+\frac{3}{x} \right)$$

Giải:
Điều kiện x khác 0
PT đã cho $$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+x+3}=2.\frac{x^2+3}{x}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x^2+3}{\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+3}}=\frac{2.(x^2+3)}{x}$$
$$\Leftrightarrow 2(\sqrt{2x^2+x+6}-\sqrt{x^2+x+3})=x(1)$$
Do $VT>0$ nên $x>0$
$$(1)\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+x+6}=2\sqrt{x^2+x+3}+3\Leftrightarrow 4(2x^2+x+6)=4(x^2+x+3)+x^2+4x\sqrt{x^2+x+3}$$
$$\Leftrightarrow 3x^2+12=4x\sqrt{x^2+x+3}\Leftrightarrow 7x^4+16x^3-24x^2-144=0$$
$$\Leftrightarrow (x-2)(7x^3+30x^2+36x+72)=0$$
\[
\left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0 \\
7x^3 + 30x^2 + 36x + 72 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 \\
7x^3 + 30x^2 + 36x + 72 = 0(l) \\
\end{array} \right.
\]
Do $g(x)=7x^3+30x^2+36x+72>0$
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

=====================
Làm bài này mệt thật may có nghiệm x=2 nên tách được

[dark templar]

Bài này còn 1 cách giải xài BĐT chứng minh đạo hàm dương,suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất Kiên thử suy nghĩ đi nhé

[Dont Cry]

Cách làm của bạn khá hay .Tặng bạn 1 bài pp gần giống như vậy.
1:Giải hpt:
$ \sqrt{x^2+91}= \sqrt{y-2}+y^2$
và $ \sqrt{y^2+91}= \sqrt{x-2}+x^2$
2:Gpt:
$ 10(x^2-2x+1)(x^2-5x+6)=(x-1) \sqrt{2x-4} - (2x-4) \sqrt{x-1} $

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu 1: Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2\\\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{x - 2} + x^2 \
\end{matrix}\right.$$

Giải

ĐK: $x, y \geq 0$

Giả sử $x \geq y > 0 \Rightarrow x^2 + \sqrt{x - 2} \geq y^2 + \sqrt{y - 2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} \geq \sqrt{x^2 + 91}$
$\Leftrightarrow y^2 \geq x^2 \Leftrightarrow y \geq x$
Vậy x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ (1) của hệ, (1) tương đương:
$\sqrt{y^2 + 91} = \sqrt{y - 2} + y^2
\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 91} - 10 = \sqrt{y - 2} - 1 + y^2 - 9 $

$\Leftrightarrow \dfrac{y^2 - 9}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} = \dfrac{y - 3}{\sqrt{y - 2} + 1} + (y - 3)(y + 3)= 0$

$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)(\dfrac{1}{\sqrt{y^2 + 91} + 10} - 1) - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} + 1}]= 0$

$\Leftrightarrow (y - 3)[(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1}] = 0$

$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = 3 ™\\(y + 3)\dfrac{- \sqrt{y^2 + 91} - 9}{\sqrt{y^2 + 91 } + 10} - \dfrac{1}{\sqrt{y - 2} - 1} = 0 \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Nhận thấy: $\forall y \geq 2 \Rightarrow VT_{(2)} < 0 = VF$. Vậy (2) vô nghiệm

Hệ ban đầu có nghiệm x = y = 2

Câu 2: Giải phương trình:
$10(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)\sqrt{2x - 4} + (2x - 4)\sqrt{x - 1}$

Giải

ĐK: $x \geq 2$

Phương trình $\Leftrightarrow 10\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}(\sqrt{x -1} - \sqrt{2x - 4})$

$\Leftrightarrow 0\left ( x - 1 \right )^2 (x - 2)(x- 3)= \sqrt{\left ( x -1 \right )\left ( 2x - 4 \right )}\frac{- x + 3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}}$

* Nhận thấy: x = 2; 3 là nghiệm của phương trình.
* Với $x \neq 1; 2; 3$ chia hai vế của phương tình cho:$ \sqrt{\left ( x - 1 \right )\left ( x - 2 \right )}\left ( x - 3 \right ).$
Phương trình tương đương:
$10\sqrt{\left ( x - 1 \right )^3\left (x - 2 \right )} = \sqrt{2}\frac{-1}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{2x - 4}} \,\,\,\,\,\,\,(2)$

$\forall x \geq 2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
VT \geq 0\\ VF < 0
\end{matrix}\right.$
Vậy $VT \geq VF \Rightarrow$ (2) vô nghiệm
Phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2 và x = 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 27-02-2012 - 22:55

[Ispectorgadget]

Bài này còn 1 cách giải xài BĐT chứng minh đạo hàm dương,suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất Kiên thử suy nghĩ đi nhé

Anh trình bày dùm em cách dùng đạo hàm được không em biến đổi mà không ra.